a.4x^2-12x+15 = 0; vô nghiệm vì vế trái = 4x^2-12x+15=(2x)^2-2.3.(2x)+3^2+6=(2x-3)^2+6>=6 nên vế trái>0

b) Ta có 6x - x² - 10 

= -x² - 3x - 3x - 10

= -x(x + 3) - 3x - 9 - 1

= -x(x + 3) - 3(x + 3) - 1

= -(x + 3)(x + 3) - 1

= -(x + 3)² - 1 = -[(x + 3)² + 1]

Ta có \(\left(x+3\right)^2+1\ge\forall x\Rightarrow-\left[\left(x+3\right)^2+1\right]\le-1< 0\)

=> 6x - x² - 10 < 0 \(\forall\)x

Gọi gđ của ED và HA là O . Ta có:

tam giác MEH cân => góc HEM=MHE

tam giác OEH cân => góc OEH=OHE

mà góc OHE+MHE=90 độ

=> góc HEM+OEH=90 độ

=> EM vuông góc với ED

       DN vuông góc với ED => DEMN là hình thang vuông

@Mai Anh : chép mạng nhớ ghi nguồn nhé :>

a. Ta có:

MG//AD (gt)

KC//AD (gt)

=> MG//KC.

b.

c. Ta có: AD//KC (gt)

=> góc DAC = góc ACK

Mà góc DAC = góc DAB (AD là phân giác)

=> Góc ACK = góc DAB .

Mà góc DAB = góc AKC (AD//KC)

=> Góc ACK = góc AKC.

=> Tam giác AKC cân tại A.

VuongTung10x ơi, chứng minh BG=CF mà

Ta thấy: \(2017^{2016}\equiv1\)(mod 6)

Từ đó: (1 <= i <= k) \(\text{Σ}n_i\equiv1\)(mod 6)

Dễ chứng minh: \(\left(6k+m\right)^3\equiv m\equiv6k+m\)(mod 6) với 0<=m<=6

Từ đó ta có: \(x^3\equiv x\)(mod 6) với x là số tự nhiên

Vậy \(\text{Σ}n_i^3\equiv\text{Σ}n_i\equiv1\)(mod 6)

Vậy \(\text{Σ}n_i^3\)chia 6 dư 1

ta có: \(N=2017^{2016}\)

xét \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a³-a chia hết cho 6 với mọi a

đặt N=\(n_1+n_2+...+n_k=2017^{2016}\)

\(\Rightarrow S-N=\left(n_1^5+n_2^3+....+n_k^3\right)-\left(n_1+....+n_k\right)=\left(n_1^3-n_1\right)+\left(n_2^3-n_2\right)+....+\left(n_k^3-n_k\right)\)

\(\Rightarrow S-N⋮6\)

=> S và N cùng số dư khi chia cho 6

thấy 2017 chia 6 dư 1

2017²⁰¹⁶ chia 6 dư 1 => N chia 6 dư 1

=> S chia 6 dư 1

ta có \(y^3-x^3=2x^2+3x+2=2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}>0\Rightarrow y>x\)

\(\left(x+2\right)^3-y^3=4x^2+9x+6=\left(2x+\frac{9}{4}\right)^2+\frac{15}{16}>0\Rightarrow y< x+2\)

Vậy x<y<x+2 mà x,y thuộc Z => y=x+1

thay y=x+1 vào phương trình ta được:

\(x^3+2x^2+3x+2=\left(x+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^3+3x+1\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

với x=1 thì y=x+1=2

với x=-1 thì y=x+1=0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm (x;y)=(1;2);(-1;0)

Bài này không có điều kiện x, y nhưng ít nhất là x, y là số nguyên nhé!

+) Ta thấy x = 0 không có y nguyên thỏa mãn

+)\(\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1\ge x^3+2x^2+3x+2>x^3\)

Mà \(x^3+2x^2+3x+2\)là lập phương của số tự nhiên nên ta có: \(x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^2+3x+1\)

Từ đây tìm được x=1, y=2

f(-1)=1-a+b; f(0)=b; f(1)=1+a+b

theo giả thiết có: \(\hept{\begin{cases}\frac{-1}{2}\le b\le\frac{1}{2}\left(1\right)\\\frac{-1}{2}\le1-a+b\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{-3}{2}\le-a+b\le\frac{-1}{2}\left(2\right)\\\frac{-1}{2}\le1+a+b\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{-3}{2}\le a+b\le\frac{-1}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)

cộng theo từng vế của (2) và (3) có: \(\frac{-3}{2}\le b\le\frac{-1}{2}\left(4\right)\)

từ (1) và (4) ta có: \(b=\frac{-1}{2}\), thay vào (2) và (3) ta được a=0

vậy đa thức cần tìm là \(f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{2}\)

+)\(\left|f\left(x\right)\right|\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le f\left(x\right)\le\frac{1}{2}\)

+)\(x^2+ax+b=x^2+2\cdot\frac{a}{2}\cdot x+b+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}+b=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+b-\frac{a^2}{4}\)

\(\ge b-\frac{a^2}{4}=-\frac{1}{2}\)

+)\(f\left(x\right)\)có đồ thị quay lên nên đạt giá trị lớn nhất khi x=1 hoặc x=-1
+) Khi x=1 thì \(a+b+1=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=-\frac{1}{2}\)

+) Khi x=-1 thì \(b-a+1=\frac{1}{2}\Leftrightarrow b-a=-\frac{1}{2}\)

+) TH1: \(\hept{\begin{cases}a+b=-\frac{1}{2}\\b-\frac{a^2}{4}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

+) TH2: \(\hept{\begin{cases}b-a=-\frac{1}{2}\\b-\frac{a^2}{4}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

Vậy a=0, b=1/2

P/s: Bài này mình không chắc chắn lắm nhé!

https://diendantoanhoc.net/topic/118096-t%C3%ACm-nghi%E1%BB%87m-nguy%C3%AAn-c%E1%BB%A7a-ph%C6%B0%C6%A1ng-tr%C3%ACnh-2x3-2y35xy10/

ta có \(2x^3-2y^3+5xy+1=0\Leftrightarrow2\left(x-y\right)\left|\left(x-y\right)^2+3xy\right|+5xy+1=0\)

đặt x-y=a, xy=b (a,b thuộc Z) ta được

\(2a\left(a^2+3b\right)+5a+1=0\Leftrightarrow2^3+6ab+5b+1=0\Leftrightarrow2a^3+1=-b\left(6a+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(2a^3+1\right)⋮\left(6a+5\right)\left(b\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow\left(216a^3+108\right)⋮\left(6a+5\right)\Leftrightarrow\left|\left(6a\right)^3+5^3-17\right|⋮\left(6a+5\right)\)

\(\Rightarrow17⋮\left(6a+5\right)\Rightarrow\left(6a+5\right)\in\left\{-17;-1;1;17\right\}\Rightarrow a\in\left\{-1;2\right\}\)

với a=-1 ta có b=-1 => xy=x-y=-1 (loại)

với a=2 ta có: b=-1 => xy=-1 và x-y=2 => x=1; y=-1

thử lại ta thấy x=1; y=-1 là nghiệm nguyên của phương trình

vậy nghiệm của phương trình là (x;y)=(1;-1)

\(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{d}{b}\)

Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=ck\\d=bk\end{cases}}\)

Khi đó : a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ + c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴

= (ck)²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ + c²⁰¹⁴ + (bk)²⁰¹⁴

= c²⁰¹⁴(k²⁰¹⁴ + 1) + b²⁰¹⁴(k²⁰¹⁴ + 1)

= (k²⁰¹⁴ + 1)(c²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴) \(⋮\)(c²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴)

=> a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ + c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴ là hợp số 

trình bày theo cách khác

gọi ƯCLN (a,c)=m \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=ma_1\\c=mc_1\end{cases}\left(a_1;c_1\inℤ\right),\left(a_1,c_1\right)=1}\)

vì a,b,c,d là số nguyên thỏa mãn ab=cd

\(\Rightarrow ma_1b=mc_1d\Leftrightarrow a_1b=c_1d\)nên \(a_1b⋮c_1\)

mà (a₁;c₁)=1 nên b chia hết cho c₁ => b=nc₁ => d=na₁, do đó

\(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}=\left(ma_1\right)^{2014}+\left(nc_1\right)^{2014}+\left(mc_1\right)^{2014}+\left(na_1\right)^{2014}\)

\(=a_1^{2014}\left(m^{2014}+n^{2014}\right)+c_1^{2014}\left(m^{2014}+n^{2014}\right)\)

\(=\left(m^{2014}+n^{2014}\right)\left(a_1^{2014}+c_1^{2014}\right)\)là hợp số

P = \(\frac{a^2c}{a^2c+c^2b+b^2a+}+\frac{b^2a}{b^2a+a^2c+c^2b}+\frac{c^2b}{c^2b+b^2a+a^2c}\)

P = \(\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{a^2c+c^2b+b^2a}=1\)

\(P=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}}+\frac{\frac{b}{c}}{\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}}+\frac{\frac{c}{a}}{\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}=1\)

\(f\left(x\right)=x^4+8x^3+28x^2+48x-13\)

\(=\left(x^4+4x^3+7x^2\right)+\left(4x^3+16x^2+28x\right)+\left(5x^2+20x+35\right)-48\)

\(=x^2\left(x^2+4x+7\right)+4x\left(x^2+4x+7\right)+5\left(x^2+4x+7\right)-48\)

\(=\left(x^2+4x+7\right)\left(x^2+4x+5\right)-48\)

đặt t=\(x^2+4x+6\)khi đó g(t)=(t-1)(t+1)-48=t²-49=(t-7)(y+7)

vậy f(x)=(x²+4x-1)(x²+4x+13)

Trả lời:

Thay \(f\left(x\right)=0\), ta có:

\(0=x^4+8x^3+28x^2+48x-13\)

\(\Leftrightarrow-x^4-8x^3-28x^2-48x+13=0\)

\(\Leftrightarrow-x^4-4x^3-4x^3+x^2-16x^2-13x^2+4x-56x+13=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-x^4-4x^3+x^2\right)+\left(-4x^3-16x^2+4x\right)+\left(-13x^2-56x+13\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2.\left(x^2+4x-1\right)-4x.\left(x^2+4x-1\right)-13.\left(x^2+4x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-x^2-4x-13\right).\left(x^2+4x-1\right)=0\)

Vì \(-x^2-4x-13=-x^2-4x-4-9\)

                                     \(=-\left(x^2+4x+4\right)-9\)

                                     \(=-\left(x+2\right)^2-9< 0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+4x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+4\right)-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=5=\left(\pm\sqrt{5}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=\sqrt{5}\\x+2=-\sqrt{5}\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-2+\sqrt{5}\\x=-2-\sqrt{5}\end{cases}}\)

Vậy đa thức có 2 nghiêm \(x\in\left\{-2+\sqrt{5},-2-\sqrt{5}\right\}\)