hồn loàng

đặt \(l\left(x\right)=-x^2-2x+1+3m\) dễ thấy \(3m-7\le g\left(x\right)\le3m+1\) (đạo hàm hoặc tư duy) 

Để \(y_{max}=7\) trên \(\left[0;2\right]\) thì : 

TH1 : \(\hept{\begin{cases}3m+1=7\\3m-7>-7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=2\\m>0\end{cases}}\Leftrightarrow m=2\)

\(\hept{\begin{cases}3m+1=-7\\3m-7< 7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=\frac{-8}{3}\\m< \frac{14}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{-8}{3}\)

... 

do có hai căn nên mình không vội tìm điều kiện mà sẽ giải rồi sau đó thử nghiệm xem thỏa mãn điều kiện căn hay không

ta có \(PT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\4-\sqrt{x+4}=x^2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)-\sqrt{x+4}+\frac{1}{4}=x^2+x+\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+4}-\frac{1}{2}\right)^2=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\)do \(x\ge0\Rightarrow\sqrt{x+4}-\frac{1}{2}\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+4}-\frac{1}{2}=x+\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sqrt{x+4}=x+1\Leftrightarrow x+4=x^2+2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-3=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)

thay lại phương trình ban đầu ta có nghiệm duy nhất \(x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\)

áp dụng công thức diện tích tam giác ta có

\(S=\frac{abc}{4R}=\frac{r\left(a+b+c\right)}{2}\Rightarrow\frac{3}{2Rr}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{abc}\)

vì vậy ta cần chứng minh 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\sqrt{\frac{3\left(a+b+c\right)}{abc}}=\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)}\)

bình phương hai vế ta có: 

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\right)^2\ge0\)luôn đúng

dấu bằng xảy ra khi a=b=c