a) Xét tứ giác AEMF có ME//AC; MF//AB => Là hình bình hành (TC)

b) Để AEMF là HCN <=> MFA=90 độ => MF vuông góc với AC

Do M là trđ BC; MF//AB => Theo đlí đảo của đtb thì F cx là trđ của AC => Xét tam giác AMC thì MF vừa là đg cao vừa là đường trung tuyến ứng với AC => Khi đó tam giác AMC cân tại M. CMTT thì tam giác AMB cx cân tại M

Khi đó để AEMF là HCN <=> AM=MC=MB=1/2.BC

Vậy M chỉ cần ở vị trí sao cho \(AM=\frac{1}{2}BC.\)   thì AEMF là HCN.

c) Theo câu b thì để AEMF là HCN <=> AM=MB=MC=1/2.BC.

<=> Tam giác ABC vuông tại A và có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC.

Vậy tam giác ABC cần có điều kiện là vuông tại A.

\(P+3=\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{y^3}{z^2}+y+\frac{z^3}{x^2}+z\)

\(P+3\ge2\sqrt{\frac{x^4}{y^2}}+2\sqrt{\frac{y^4}{z^2}}+2\sqrt{\frac{z^4}{x^2}}=2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\)

Theo bất đẳng thức Svacso ta có

\(P+3\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\ge2\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}\right)=2\left(x+y+z\right)=6\)

dấu = xay ra khi x = y = z = 1

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P+3=\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{y^3}{z^2}+y+\frac{z^3}{x^2}+z\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\)

\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=2\left(x+y+z\right)=6\)

\(\Leftrightarrow P\ge3\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Đề bài: Cho 3 số \(a+b+c=0\)..........

Vì \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A=a\left(a+b\right)\left(c+a\right)=a.\left(-c\right).\left(-b\right)=abc\)(1)

\(B=b\left(b+c\right)\left(a+b\right)=b.\left(-a\right).\left(-c\right)=abc\)(2)

\(C=c\left(c+a\right)\left(b+c\right)=c.\left(-b\right).\left(-a\right)=abc\)(3)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow A=B=C\)

3 số mà thêm d vô mần chi rứa:v

Ta có : \(a+b+c=0< =>\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)

Thay vào các biểu thức A,B,C ta có :

\(\hept{\begin{cases}A=a.\left(-c\right).\left(-b\right)=abc\\B=b.\left(-a\right).\left(-c\right)=abc\\C=c.\left(-b\right).\left(-a\right)=abc\end{cases}}\)

Suy ra \(A=B=C\)

(4x - 1) - (4x + 1)(x - 2) = 12

=> 4x - 1 - 4x² - 7x - 2 = 12

=> (4x - 7x) + (- 1 - 2) - 4x² = 12

=> -3x - 3 - 4x² = 12

=> -3x - 4x² = 15

=> không tồn tại x 

b. (2x - 3)(2x + 1) - (2x - 2)(2x - 2) = 15

=> 2x(2x + 1) - 3(2x + 1) - 2x(2x - 2) + 2(2x - 2) = 15

=> 4x² + 2x - 6x - 3 - 4x² + 4x - 4x - 4 = 15

=> (4x² - 4x²) + (2x - 6x + 4x - 4x) + (-3 - 4) = 15

=> -4x - 7 = 15

=> -4x = 22

=> x = \(-\frac{11}{2}\)

a, \(\left(4x-1\right)-\left(4x+1\right)\left(x-2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow4x-1-4x^2+8x-x+2=12\)

\(\Leftrightarrow11x+1-4x^2=12\)

\(\Leftrightarrow11x-11-4x^2=0\)( vô nghiệm )

b, \(\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)-\left(2x-2\right)^2=15\)

\(\Leftrightarrow4x^2+2x-6x-3-4x^2+8x-4=15\)

\(\Leftrightarrow4x-7=15\Leftrightarrow4x=22\Leftrightarrow x=\frac{11}{2}\)

a) \(\left(4x-1\right)-\left(4x+1\right)\left(x-2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow4x-1-\left(4x^2-7x-2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow4x-1-4x^2+7x+2=12\)

\(\Leftrightarrow4x^2-11x+11=0\)( Pt vô nghiệm )

b) \(\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)-\left(2x-2\right)^2=15\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4x-3\right)-\left(4x^2-8x+4\right)=15\)

\(\Leftrightarrow4x=22\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{11}{2}\)

Ta có C = (x² + 2xy + y²) + (y² - 6x + 9) + 6 

= (x + y)² + (y - 3)² + 6 \(\ge6>0\)(đpcm)

C = x² + 2xy + y² + y² - 6y + 15 

C = ( x² + 2xy + y² ) + ( y² - 6y + 9 ) + 6

C = ( x + y )² + ( y - 3 )² + 6 ≥ 6 > 0 ∀ x ( đpcm )

D = x² + y² + 6x + 10y + 30

D = ( x² + 6x + 9 ) + ( y² + 10y + 25 ) - 4

D = ( x + 3 )² + ( y + 5 )² - 4 ≥ -4 ( xem lại đề nhớ )

\(Tacó\):   \(C=x^2+2xy+y^2+y^2-6y+15\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2-6y+9\right)+6\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y-3\right)^2+6\)

\(Mà\)\(\left(x+y\right)^2\ge0\)với mọi x,y

             \(\left(y-3\right)^2\ge0\)với mọi y

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y-3\right)^2+6>0\)

\(Hay\)\(x^2+2xy+y^2+y^2-6y+15>0\)\

: 

a.\(\left(4x-1\right)-\left(4x+1\right).\left(x-2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow4x-1-\left(4x^2-7x-2\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow4x-1-4x^2+7x+2-12=0\)

\(\Leftrightarrow-4x^2+11x-11=0\)

\(\Rightarrow4x^2-11x+11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^2-2.2x.\frac{11}{4}+\frac{11^2}{4^2}-\frac{11^2}{4^2}+11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-\frac{11}{4}\right)^2+\frac{55}{16}=0\)( VÔ LÝ )

VẬY KHÔNG CÓ GIÁ TRỊ NÀO CỦA x THỎA MÃN PT ĐÃ CHO

b. \(\left(2x-3\right).\left(2x+1\right)-\left(2x-2\right)^2=15\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4x-3-4x^2+8x-4-15=0\)

\(\Leftrightarrow4x-22=0\)\

\(\Leftrightarrow x=\frac{11}{2}\)

VẬY PT CÓ NGHIỆM x= 11/2

giúp mình nhé

\(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1+1+1-2a-2b-2c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\left(dpcm\right)\)