Mình làm và sửa đề đúng luôn nhé !

1) \(36x^2-a^2+10a-25\)

\(=\left(6x\right)^2-\left(a^2-10a+25\right)\)

\(=\left(6x\right)^2-\left(a-5\right)^2\)

\(=\left(6x-a+5\right)\left(6x+a-5\right)\)

2) \(4x^2-4xy+y^2-25a^2+10a-1\)

\(=\left(2x-y\right)^2-\left(5a-1\right)^2\)

\(=\left(2x-y-5a+1\right)\left(2x-y+5a-1\right)\)

3) \(m^2-6m+9-x^2+4xy-4y^2\)

\(=\left(m-3\right)^2-\left(x-2y\right)^2\)

\(=\left(m-3-x+2y\right)\left(m+3-x+2y\right)\)

Đơn giản mà.

Nếu tồn tại một số chính phương có tổng các chữ số = 5

\(\Rightarrow\)Số chính phương đó chia 3 dư 2

Mà số chính phương chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 khi chia cho 3

Vậy: Một số chính phương không thể có tổng các chữ số bằng 5.

cảm ơn nhé

nếu tất cả x_i chẵn thì x_i⁴ chẵn nên \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chẵn , không thể bằng 2015

nếu có \(x_k\)lẻ \(x_k=2m_k+1,m_k\inℤ,x_k^4=\left(2m_k+1\right)^4=16m_k^3\left(m_k+2\right)+8m_k\left(3m_k+1\right)+1\)

nếu m_k chẵn thì \(8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)

m_k lẻ thì \(3m_k+1\)chẵn \(\Rightarrow8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)

do đó \(x_k^4\)chia cho 16 có số dư là 1

vì vậy \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia cho 16 có số dư tối đa là 8

còn 2015=125.16+15 khi chia 16 có số dư là 15 

vậy không thể xảy ra \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+....+x_8^4=2015,x_i\inℤ\)

Với \(x\in Z\)thì: \(x^2\)chia 16 dư 0 hoặc 1. (Tự cm)

\(\Rightarrow x^4=\left(x^2\right)^2:16\)dư 0 hoặc 1

\(\Rightarrow x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia 16 sẽ nhận một trong các số dư 0;1;2...;8

Mà \(2015:16\)dư 15\(\Rightarrow\)Phương trình vô nghiệm.

Có \(D=\left(y-1\right)\left(y-2\right)\left(f+y+y^2\right)\left(4+2y+y^2\right)\)

Thay \(y=1\) vào D, ta có : \(D=\left(1-1\right)\left(1-2\right)\left(f+1+1^2\right)\left(4+2.1+1\right)\)

\(D=0\left(1-2\right)\left(f+1+1^2\right)\left(4+2.1+1\right)=0\)

Vậy giá trị biểu thức D khi \(y=1\) là 0

\(D=\left(y-1\right)\left(y-2\right)\left(f+y+y^2\right)\left(4+2y+y^2\right)\)

Thay y = 1 vào biểu thức D

\(D=\left(1-1\right)\left(1-2\right)\left(f+1+1^2\right)\left(4+2.1+1^2\right)\)

\(D=0.\left(-1\right)\left(f+2\right).7=0\)

Với y = 1 thì biểu thức có giá trị là 0

Ta có (x - 3)(x - 5) + 2 = x² - 8x + 15 + 2 = x² - 8x + 16 + 1 =(x - 4)² + 1\(\ge\)1 > 0 (đpcm)

( x - 3 )( x - 5 ) + 2

= x² - 8x + 15 + 2

= ( x² - 8x + 16 ) + 1

= ( x - 4 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x ( đpcm )

Đặt \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=A\)

Ta có:\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

<=> \(\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)

<=> \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{a}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

<=> \(A+\frac{a+b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{c+a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{c+b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A+\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A+\frac{a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A=0\)

=> ....

x^2 + 3x + 4 = x^2 + 2.(3/2).x + 9/4 - 9/4 + 4

= (x+3/2)^2 + 7/4 >= 7/4

<=> A >= 49/16.

Dấu "=" xảy ra <=> x = -3/2

\(x^2+3x+4=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\left(x^2+3x+4\right)^2\ge\left(\frac{7}{4}\right)^2=\frac{48}{16}\)

Dấu '=' xảy ra khi :

\(x+\left(\frac{3}{2}\right)=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)

a,

\(2^2=\left(1+1\right)^2=1^2+2.1+1\)

\(3^2=\left(2+1\right)^2=2^2+2.2+1\)

....

\(\left(n+1\right)^2=n^2+2n+1\)

Cộng theo từng vế của các đẳng thức:

\(2^2+3^2+...+\left(n+1\right)^2=1^2+2^2+...+n^2+2\left(1+2+...+n\right)+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2=1+2S+n\)

\(\Leftrightarrow2S=\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2S=\left(n+1\right)n\)

\(\Leftrightarrow S=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

b, Tương tự a

\(2^3=\left(1+1\right)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)

\(3^3=\left(2+1\right)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)

...

\(\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1\)

Cộng theo từng vế của các đẳng thức:

\(2^3+3^3+...+\left(n+1\right)^3=1^3+2^3+...+n^3+3\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+3\left(1+2+...+n\right)+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3=1+3S_1+3S+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3-\left(n+1\right)-3S=3S_1\)

\(3S_1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow3S_1=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow S_1=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

a) A = a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = (a + b)³ - 3ab(a + b)

= 2³ - 3.(-1).2 = 8 + 6 = 14

b) B = a⁴ + b⁴ = a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 2a²b² = (a² - b²)² + 2a²b² 

= (a - b)²(a + b)² + 2(ab)² = (a² - 2ab + b²)(a + b)² + 2(ab)²

= (a + b)⁴ + 2(ab)² - 4ab(a + b)² = 2⁴ + 2.(-1)² - 4.(-1).2² = 16 + 2 + 16 = 34

c) Ta có: a² + b² = (a² + 2ab + b²) - 2ab = (a + b)² - 2ab = 2² - 2.(-1) = 4 + 2 = 6

=> (a² + b²)(a³ + b³) =  6.14 = 84

=> a⁵ + a²b³ + a³b² + b⁵ = a⁵ + b⁵ + a²b²(a + b) = 84

=>C = 84 - (ab)²(a + b) = 84 - (-1)².2 = 82

d) D = a⁶ + b⁶ = a⁶ + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + a⁶ - 3a²b²(a² + b²) = (a² + b²)³ - 3(ab)²(a² + b²) = 6³ - 3(-1)². 6 = 198

a) Ta có : a + b = 2

=> (a + b)³ = 8

=> a³ + b³ + 3a²b + 3ab² = 8

=> a³ + b³ + 3ab(a + b) = 8

=> a³ + b³ - 6 = 8

=> a³ + b³ = 14

b) Ta có a + b = 2

=> (a + b)⁴  = 16

=> a⁴ + b⁴ + 4a³b + 4ab³ = 16

=> a⁴ + b⁴ + 4ab(a² + b²) = 16 (1)

Lại có a + b = 2

=> (a + b)² = 4

=> a² + b² + 2ab = 4

=> a² + b² = 6

Khi đó (1) <=> a⁴ + b⁴ - 24 = 16

=> a⁴ + b⁴ = 40

c) a + b = 2

=> (a + b)⁵ = 32

=> a⁵ + b⁵ + 5a⁴b + 5ab⁴ = 32

=> a⁵ + b⁵ + 5ab(a³ + b³) = 32

Vận dụng kết quả câu b

=> a⁵ + b⁵ - 70 = 32 

a⁵ + b⁵ = 102

d) a + b = 2

=> (a + b)⁶ = 64

=> a⁶ + b⁶ + 6a⁵b + 6ab⁵ = 64

=> a⁶ + b⁶ + 6ab(a⁴ + b⁴) = 64

Vận dụng kết quả câu c 

=> a⁶ + b⁶ - 240 = 64

=> a⁶ + b⁶ = 304