từ gt \(\Rightarrow p=\frac{b}{4}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}\)suy ra b chẵn

Đặt b = 2k thì \(p=\frac{k}{2}\sqrt{\frac{a-k}{a+k}}\Leftrightarrow\frac{4p^2}{k^2}=\frac{a-k}{a+k}\)

đặt \(\frac{2p}{k}=\frac{m}{n}\)với ( m,n ) = 1 và d = ( a-k ; a+k ) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-k=dm^2\\a+k=dn^2\end{cases}\Rightarrow2k=d\left(n^2-m^2\right)}\)

và \(4pn=dm\left(n^2-m^2\right)\)

Nếu m,n cùng lẻ thì \(4pn=dm\left(n^2-m^2\right)⋮8\)nên p chẵn tức là p = 2 suy ra ....

Nếu m,n không cùng lẻ thì m chia 4 dư 2 ( do 2p không là số chẵn không chia hết cho 4 và \(\frac{2p}{k}\) là phân số tối giản )

Khi đó n là số lẻ nên n² - m² là số lẻ nên không chia hết cho 4 suy ra d là số chia hết cho 2 

đặt d = 2r, ta có 2pn = rm ( n² - m² ) mà ( n² - m² , n ) = 1 \(\Rightarrow r⋮n\)

đặt r = ns ta có : 2p = s ( n - m ) ( n + m ) m . Do n-m,n+m đều lẻ nên n+m=p,n-m = 1

\(\Rightarrow s,m\le2\)và ( m,n ) = ( 1,2 ) và ( 2,3 )

với m = 1, n = 2 thì p = 3 , b = 24 , a = 20

với m = 2 , n = 3 thì p = 5, b = 30, a = 39

Vậy ....

Một bài khó hơn nha bạn tham khảo :D vô TKHĐ của tớ

Nguồn bài này là Iran MO 1998 bạn có thể tham khảo lời giải của giáo sư Titu Andresscu tại đây:

bạn viết tiếng việt đi bạn. nhìn thế khó đọc

A B C I G A1 B1 C1 J

Gọi G' là giao điểm của IJ và AA₁

Xét \(\Delta ABC\)có B₁,C₁ lần lượt là trung điểm của AC,AB nên B₁C₁ là đường trung bình 

\(\Rightarrow B_1C_1=\frac{BC}{2}\)

Tương tự : \(A_1B_1=\frac{AB}{2};A_1C_1=\frac{AC}{2}\)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta A_1B_1C_1\)có \(\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta A_1B_1C_1~\Delta ABC\left(c.c.c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{B_1A_1C_1}=\widehat{BAC};\widehat{A_1B_1C_1}=\widehat{ABC}\)

Mà \(\widehat{JA_1B_1}=\frac{\widehat{B_1A_1C_1}}{2},\widehat{IAB}=\frac{\widehat{BAC}}{2},\widehat{JB_1A_1}=\frac{\widehat{A_1B_1C}}{2},\widehat{IBA}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\)

Nên \(\widehat{JA_1B_1}=\widehat{IAB};\widehat{JB_1A_1}=\widehat{IBA}\)

Do đó \(\Delta JA_1B_1~\Delta IAB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{JA_1}{IA}=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{1}{2}\)

Mà \(\widehat{BAA_1}=\widehat{AA_1B_1}\) nên \(\widehat{IAA_1}=\widehat{IA_1A}\)Suy ra AI // A₁J

Xét \(\Delta G'AI\)có AI // A₁J nên \(\frac{G'A_1}{G'A}=\frac{G'J}{G'I}=\frac{JA_1}{IA}=\frac{1}{2}\Rightarrow AG'=\frac{2}{3}AA_1\)

Xét \(\Delta ABC\)có AA₁ là đường trung tuyến, G' thộc đoạn thẳng AA₁ và AG' = \(\frac{2}{3}AA_1\)

Do đó : G' là trọng tâm của tam giác ABC nên G' \(\equiv\)G.

Vậy I,G,J thẳng hàng và GI = 2GJ

ĐKXĐ: \(x\ne1;y\ne-\frac{1}{2}\)

\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\\frac{1-x}{2y+1}+\frac{2y+1}{1-x}=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1+y\\\frac{1-\left(1+y\right)}{2y+1}+\frac{2y+1}{1-\left(1+y\right)}=2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1+y\\\frac{-y}{2y+1}+\frac{2y+1}{-y}=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1+y\\y^2+\left(2y+1\right)^2=-2y\left(2y+1\right)\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1+y\\y^2+4y^2+4y+1=-4y^2-2y\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x=1+y\\9y^2+6y+1=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1+y\\\left(3y+1\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1+y\\y=-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm x=2/3 ; y=-1/3

1) \(x^3-3x^2y-4x^2+4y^3+16xy=16y^2\Leftrightarrow x^3-3x^2y-4x^2+4y^3+16xy-16y^2=0\)

đưa về phương trình tích : \(\left(x-2y\right)^2\left(x+y-4\right)=0\) tới đây ok chưa

3)  ĐK : x \(\ge\)0 ; \(y\ge3\)\(\Rightarrow x+y>0\)

đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x+3}=b\)

\(\Rightarrow y-3=\left(x+y\right)-\left(x+3\right)=a^2-b^2\)

PT : \(\sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}=\frac{1}{3}\left(y-3\right)\Leftrightarrow3\sqrt{x+y}+3\sqrt{x+3}=y-3\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)=a^2-b^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(3-a+b\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=0\\a-b=3\end{cases}}\)

Mà a + b = \(\sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}>0\)nên loại

a - b  = 3 thì \(\sqrt{x+y}-\sqrt{x+3}=3\), ta có HPT : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}-\sqrt{x+3}=3\\\sqrt{x+y}+\sqrt{x}=x+3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=x\Leftrightarrow\sqrt{x+3}=x-\sqrt{x}\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow x=\left(1+\sqrt[3]{2}\right)^2\)

từ đó tìm đc y

\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=1-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2y^2}\right)=1-\frac{x^2+y^2-1}{x^2y^2}\)

\(B=1-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy-1}{x^2y^2}=1-\frac{-2xy}{x^2y^2}=1+\frac{2}{xy}\)

Cô-si : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow B\ge1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9\)

Vậy B có GTNN bằng 9 khi x = y = \(\frac{1}{2}\)