Lời giải:

a. Xét tam giác $AME$ và $AHE$ có:

$AE$ chung

$\widehat{AEM}=\widehat{AEH}=90^0$

$ME=HE$ (gt)

$\Rightarrow \triangle AME=\triangle AHE$(c.g.c)

$\Rightarrow AM=AH(1)$

Hoàn toàn tương tự ta có $\triangle AHF=\triangle ANF$ (c.g.c)

$\Rightarrow AH=AN(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow AM=AN$ nên tam giác $AMN$ là tam giác cân tại $A$.

b.

Ta có:

$\frac{HE}{EM}=\frac{HF}{FN}=1$ nên theo định lý Talet thì $EF\parallel MN$ 

c.

Vì tam giác $AMN$ cân tại $A$ (cm ở phần a) nên trung tuyến $AI$ đồng thời là đường cao.

$\Rightarrow AI\perp MN$

Mà $MN\parallel EF$

$\Rightarrow AI\perp EF$ (đpcm)

Hình vẽ:

x²y + xy² - x - y

= (x²y + xy²) - (x + y)

= xy(x + y) - (x + y)

= (x + y)(xy - 1)

a) Ta tính tổng số các cặp lớp phân biệt có thể xảy ra.

 Vị trí đầu tiên có \(x\) cách chọn và vị trí thứ hai sẽ có \(x-1\) cách chọn (do một lớp bất kì không thể đấu với chính lớp đó). Nhưng nếu tính như trên, thì mỗi trận đấu giữa 2 đội bất kì sẽ bị lặp lại thêm 1 lần, nên tổng số trận đấu khác nhau là \(\dfrac{x\left(x-1\right)}{2}\)

 b) Cho \(\dfrac{x\left(x-1\right)}{2}=105\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-210=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-21\right)\left(x+20\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=21\left(nhận\right)\\x=-20\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy có 21 đội tham gia.

Với \(x\ne0;x\ne\pm1;x\ne\dfrac{5}{2}\), ta có:

\(M=\left(\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{7}{x+1}\right):\dfrac{-4x+10}{x\left(x+1\right)}\)

\(=\left[\dfrac{3\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{7\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]\cdot\dfrac{x\left(x+1\right)}{-4x+10}\)

\(=\dfrac{3x+3-7x+7}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{x\left(x+1\right)}{-4x+10}\)

\(=\dfrac{-4x+10}{x-1}\cdot\dfrac{x}{-4x+10}\)

\(=\dfrac{x}{x-1}\)

\(Toru\)

Do AH ⊥ BC (gt)

⇒ AH ⊥ BH

Do ∆ABC vuông cân tại A (gt)

AH là đường cao

⇒ AH cũng là đường trung tuyến của ∆ABC

⇒ H là trung điểm của BC

Gọi D là giao điểm của AB và HK

Do H và K đối xứng nhau qua AB (gt)

⇒ D là trung điểm của HK và AB là đường trung trực của HK

⇒ HK ⊥ AB

Mà AB ⊥ AC

⇒ HK // AC

⇒ HD // AC

Mà H là trung điểm của BC

⇒ D là trung điểm AB

Do ∆ABC vuông cân tại A (gt)

AH là đường trung tuyến của ∆ABC (cmt)

⇒ AH = HB = HC = BC : 2

Tứ giác AHBK có:

D là trung điểm HK (cmt)

D là trung điểm AB (cmt)

⇒ AHBK là hình bình hành

Mà AH ⊥ BH (cmt)

⇒ AHBK là hình chữ nhật

Lại có AH = BH (cmt)

⇒ AHBK là hình vuông

Bạn nên gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn.