Đây mình trả lời với x là số thực.

1) x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1. >= 0 + 1 = 1. (Số chính phương luôn >= 0 với mọi x).

Vậy GTNN của biểu thức trên là 1. Dấu "=" xảy ra <=> x = 3.

2) x^2 - 8x + 19 = (x^2 - 8x + 16) + 3 = (x - 4)^2 + 3 >= 0 + 3 = 3.

Vậy GTNN của biểu thức trên là 1. Dấu "=" xảy ra <=> x = 4.

3) 3x^2 - 6x + 5 = (3x^2 - 6x + 3) + 2 = 3.(x - 1)^2 + 2 >= 0 + 2 = 2.

Vậy GTNN của biểu thức trên là 2. Dấu "=" xảy ra <=> x = 1.

4) x^2 + x + 1 = (x^2 + x + 1/4) + 3/4 = (x + 1/2)^2 + 3/4 >= 0 + 3/4 = 3/4.

Vậy GTNN của biểu thức trên là 3/4. Dấu "=" xảy ra <=> x = -1/2.

5) x^2 + 10x + 27 = (x^2 + 10x + 25) + 2 = (x + 5)^2 + 2 >= 0 + 2 = 2.

Vậy GTNN của biểu thức trên là 2. Dấu "=" xảy ra <=> x = -5.

6) 4x^2 + 4x + 2 = (4x^2 + 4x + 1) + 1 = (2x + 1)^2 + 1 >= 0 + 1 = 1.

Vậy GTNN của biểu thức trên là 1. Dấu "=" xảy ra <=> x = -1/2.

7) 16x^2 + 16x + 25 = (16x^2 + 16x + 4) + 21 = 4.(2x + 1)^2 + 21 >= 0 + 21 = 21.

Vậy GTNN của biểu thức trên là 21. Dấu "=" xảy ra <=> x = -1/2.

8) 9x^2 - 12x + 5 = (9x^2 - 12x + 4) + 1 = (3x - 2)^2 + 1 >= 0 + 1 = 1.

Vậy GTNN của biểu thức trên là 1. Dấu "=" xảy ra <=> x = 2/3.

9) 49x^2 - 28x + 7 = (49x^2 - 28x + 4) + 3 = (7x - 2)^2 + 3 >= 0 + 3 = 3.

Vậy GTNN của biểu thức là 3. Dấu "=" xảy ra <=> x = 2/7.

10) 30 - 6x + x^2 = (x^2 - 6x + 9) + 21 = (x - 3)^2 + 21 >= 0 + 21 = 21.

Vậy GTNN của biểu thức là 21. Dấu "=" xảy ra <=> x = 3.

11) (1/4).x^2 + x + 3 = ((1/4).x + x + 1) + 2 = ((1/2).x + 1)^2 + 2 >= 0 + 2 = 2.

Vậy GTNN của biểu thức là 2. Dấu "=" xảy ra <=> x = -2.

Lần sau nếu như đề bài yêu cầu tìm GTNN của 1 biểu thức thì bạn tìm xem biểu thức đó >= bao nhiêu nhé, và giá trị đó sẽ là GTNN của biểu thức đã cho. Còn nếu như đề bài yêu cầu tìm GTLN của 1 biểu thức thì bạn làm ngược lại.

Từ A kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC tại N, theo định lý Thales ta có: \(\frac{BH}{BN}=\frac{HD}{DA}\)

Mặt khác theo giả thiết DA=DH=>BH=BN 

=> \(\frac{AM}{CM}=\frac{NB}{BC}=\frac{BH}{BC}=\frac{BH.BC}{BC^2}=\frac{AB^2}{BC^2}\)

(sử dụng tính chất tam giác vuông BH.BC=AB²)

Theo định nghĩa cos B = \(\frac{AB}{BC}\Rightarrow\cos^2B=\frac{AB^2}{BC^2}\Rightarrow\cos^2B=\frac{AM}{CM}\left(\text{đ}pcm\right)\)

( 2x + 1 )² - 4x( x - 1 ) = 5

<=> 4x² + 4x + 1 - 4x² + 4x = 5

<=> 8x + 1 = 5

<=> 8x = 4

<=> x = 4/8 = 1/2

Bài làm

\(\left(2x+1\right)^2-4x\left(x-1\right)=5\Leftrightarrow4x^2+4x+1-4x^2+4x=5\)

\(\Leftrightarrow8x+1=5\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

a) x² + 2x + 2 

= ( x² + 2x + 1 ) + 1

= ( x + 1 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x ( đpcm )

b) x² - 6x + 10 

= ( x² - 6x + 9 ) + 1

= ( x - 3 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x ( đpcm )

c) \(x^2+x+\frac{1}{4}\)

\(=x^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot x+\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)( Min là 0 nên chưa kết luận vội :)) )

TA CŨNG TƯƠNG TỰ GIÁ SỬ PHẢN CHỨNG    \(a^2+a+1⋮9\)

=>    \(4a^2+4a+4⋮9\)

=>    \(4a^2+4a+4⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2+3⋮3\)

Mà:    \(3⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2⋮9\)                 (1)

MÀ:    \(\left(2a+1\right)^2+3⋮9\)      (2)

TỪ (1) VÀ  (2) =>    \(3⋮9\)

NHƯNG ĐÂY LÀ 1 ĐIỀU RẤT VÔ LÍ

=> ĐIỀU GIẢ SỬ LÀ SAI

=> TA CÓ ĐPCM.

VẬY    \(a^2+a+1\)     ko chia hết cho 9    \(\forall a\inℤ\)

Giả sử phản chứng    \(4a^2-4a+18⋮289\)

=>    \(\left(2a-1\right)^2+17⋮289\)

=>    \(\left(2a-1\right)^2+17⋮17\)      (   \(289⋮17\))

MÀ:    \(17⋮17\) 

=>    \(\left(2a-1\right)^2⋮17\)

=>    \(\left(2a-1\right)^2⋮17^2\)

=>    \(\left(2a-1\right)^2⋮289\)        (1)

Mà:    \(\left(2a-1\right)^2+17⋮289\)      (2)

TỪ (1) VÀ (2) =>      \(17⋮289\)

Nhưng 17 ko thể chia hết cho 289 được

=> Điều giả sử là sai

=> Ta có ĐPCM.

Vậy     \(4a^2-4a+18\)     ko thể chia hết cho 289     \(\forall a\inℤ\)

a) \(\left(5x-2\right)^2-\left(7-6x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-2-7+6x\right)\left(5x-2+7-6x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}11x-9=0\\-x+5=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{9}{11}\\x=5\end{cases}}}\)

b) \(\left(3x-1\right)^2+\left(5x+2\right)^2=x+5\)

\(\Leftrightarrow9x^2+6x+1+25x^2+20x+4=x+5\)

\(\Leftrightarrow34x^2+26x+5=x+5\)

\(\Leftrightarrow34x^2+25x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(34x+25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\34x+25=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{-25}{34}\end{cases}}}\)

c) Tự làm nốt

a) ( 5x - 2 )² - ( 7 - 6x )² = 0

<=> [ 5x - 2 - ( 7 - 6x ) ][ 5x - 2 + ( 7 - 6x ) ] = 0

<=> [ 5x - 2 - 7 + 6x ][ 5x - 2 + 7 - 6x ] = 0

<=> [ 11x - 9 ][ 5 - x ] = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}11x-9=0\\5-x=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{9}{11}\\x=5\end{cases}}\)

b) ( 3x - 1 )² + ( 5x + 2 )² = x + 5 

<=> 9x² - 6x + 1 + 25x² + 20x + 4 = x + 5

<=> 34x² + 14x + 5 = x + 5

<=> 34x² + 14x + 5 - x - 5 = 0

<=> 34x² + 13x = 0

<=> 13x( 34/13x + 1 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}13x=0\\\frac{34}{13}x+1=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-\frac{13}{34}\end{cases}}\)

c) ( x - 2 )² - ( 3 + 2x )² = 20x - 4 

<=> x² - 4x + 4 - ( 4x² + 12x + 9 ) = 20x - 4

<=> x² - 4x + 4 - 4x² - 12x - 9 - 20x + 4 = 0

<=> -3x² - 36x - 1 = 0

=> Vô nghiệm ( bấm EQN ra nghiệm vô tỉ )