\(VT=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2a-4\right).4}+\frac{1}{3}\sqrt{\left(3b-9\right)9}+\frac{11a+7b}{2}\le6a+4b\)

Cần CM \(6a+4b\le ab+24\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)\left(6-b\right)\le0\) đúng với \(a\ge4;b\ge6\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=4;b=6\)

Theo BĐT Cauchy cho 2 số dương, ta có:

\(2x^2+y^2+5=\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)+4\ge2\left(xy+x+2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{2x^2+y^2+5}\le\frac{x}{2\left(xy+x+2\right)}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{2y}{6y^2+z^2+6}\le\frac{2y}{4\left(yz+y+1\right)}=\frac{y}{2\left(yz+y+1\right)}\)(2)

\(\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\le\frac{4z}{4\left(zx+2z+2\right)}=\frac{z}{zx+2z+2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{xy+x+2}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{xyz+xz+2z}+\frac{xyz}{xyz^2+xyz+xz}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{2+xz+2z}+\frac{2}{2z+2+xz}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)(Do xyz = 2)

\(=\frac{1}{2}.\frac{zx+2z+2}{zx+2z+2}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 2

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{a^2-ab+bc+ca}{ab\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\left(a-b\right)^2\ge0\)

Equelity iff \(a=b=c\)

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\). Đặt a = x + c; b = y + c thì \(x,y\ge0\).

Thay vào , chúng ta có thể viết SOS dao lam cho đa thức tương đối dễ.

giả sử x,y là nghiệm nguyên dương của phương trình \(xy-4x=35-5y\)

Ta có pt\(xy-4x=35-5y\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-4\right)+5y=35\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-4\right)+5y-20=15\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-4\right)+5\left(y-4\right)=15\)

\(\Leftrightarrow\left(y-4\right)\left(x+5\right)=15\)

Vì \(x\in N\Rightarrow x+5\in N\)và \(x+4>0\)

\(\Rightarrow y-4>0\)và \(y-4\in N\)

Đó lập bảng làm nốt nhé chị 

Dòng thứ 3 từ dưới lên em ghi nhầm phải  là \(x+5>0\)nhé