Theo đề có:

����=��2��2=4262=49BHHD​=AB2AD2​=6242​=94​

Tam giác HDC ∼ tam giác HBA nên: 

����=����=49⇒��=��.49=6.49=83(��)ABDC​=BHHD​=94​⇒DC=AB.94​=6.94​=38​(cm)

Từ C kẻ CK là đường cao của tam giác ABC có: ��=��−��=6−83=103(��)KB=AB−DC=6−38​=310​(cm)

⇒��=2443=2613(��)⇒BC=3244​​=3261​​(cm)

Xét tam giác vuông ABD có ��=��2+��2=62+42=213(��)BD=AB2+AD2​=62+42​=213​(cm)

.

Lời giải:

Lần sau bạn nhớ ghi đầy đủ đề. $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.

$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow AC=\frac{4AB}{3}=\frac{4.15}{3}=20$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago:

$y=BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$ (cm) 

$S_{ABC}=AB.AC:2=AH.BC:2$

$\Rightarrow AB.AC=AH.BC$

$\Rightarrow x=AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{15.20}{25}=12$ (cm)

\(x^2+\sqrt[]{x}\) là gì bạn ?

rút gọn

có `cos α=1/2`

`=>cos^2 α=1/4`

Mà `cos^2 α +sin^2 α=1`

`=>1/4+sin^2 α=1`

`=>sin^2 α=1-1/4=3/4`

\(=>sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (vì `sin α` >0)

ta có `sin α : cos α=tan α`

\(=>tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:\dfrac{1}{2}=\sqrt{3}\)

ta có `tan α * cot α =1`

\(=>\sqrt{3}\cdot cot\alpha=1\\ =>cot\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

tương tự ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}sin\beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\cos\beta=1\\cot\beta=1\end{matrix}\right.\)

A B M N H

1/

Xét (O) có

\(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

\(\Rightarrow AM\perp BM\) => AM là tiếp tuyến với (B) bán kính BM

Ta có

\(AB\perp MN\Rightarrow MH=NH\) (trong đường tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung tại điểm giao cắt)

=> AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tg BMN

=> tg BMN cân tại B (Trong tg đường cao xp từ 1 đỉnh đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân tại đỉnh đó)

=> BM=BN (cạnh bên tg cân) => \(N\in\left(B\right)\) => BN là đường kính của (B)

Xét (O) có

\(\widehat{ANB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AN\perp BN\)

=> AN là tiếp tuyến của (B)

2/

Ta có

\(MN=MH+NH\)

\(\Rightarrow MN^2=MH^2+NH^2+2.MH.NH\) (1)

Xét tg vuông AMB có

\(MH^2=AH.HB\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (2)

\(\Rightarrow MH=\sqrt{AH.HB}\) (3)

Xét tg vuông ANB có

\(NH^2=AH.HB\) (lý do như trên) (4)

\(\Rightarrow NH=\sqrt{AH.HB}\) (5)

Từ (3) và (5) \(\Rightarrow MH.NH=\sqrt{AH.HB}.\sqrt{AH.HB}=AH.HB\) (6)

Thay (2) (4) (6) vào (1)

\(\Rightarrow MN^2=AH.HB+AH.HB+2.AH.HB=4.AH.HB\)

Bạn nên viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn. Viết như thế kia rất khó đọc.

\(P=\dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-2}\left(x\ge0;x\ne4\right)\)

\(P=\dfrac{\sqrt[]{x}-2+3}{\sqrt[]{x}-2}=1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-2}\)

\(P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\left(\sqrt[]{x}-2\right)\left(\sqrt[]{x}+2\right)}\)

\(P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\left(x-4\right)}\)

Thay \(x=\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}\) vào P

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}-4\right)}\)

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}-4\right)}\)

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(-3-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}\)

\(\Rightarrow P=1-\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}\left(2\sqrt[]{3}-1\right)}\)

\(\Rightarrow P=1-\dfrac{2\sqrt[]{3}\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(2\sqrt[]{3}-1\right)}\)

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\) Thay x+y+z=0 vào

\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)

Ta có

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (2)

Bình phương 2 vế của (1)

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]\)

Do x+y+z=0 nên

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (3)

Thay (3) vào (2)

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)