Hai người M và N đi ngược chiều về phía nhau. M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B. N đi từ B lúc 7 giờ sáng về phía A. Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng. Tính thời gian mỗi người đi hết quãng đường AB biết M đến B nước N đến A là 1 giờ 20 phút
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\).
Đặt \(a+b=2x;a-b=2y\) thì \(x,y\ge0\) và \(a=x+y;b=x-y\) (1)
Theo đề bài: \(2x+2=4y^2\Rightarrow x=2y^2-1\ge0\)(*). Thay vào (1) thu được: \(a=2y^2+y-1;b=2y^2-y-1\)
Vì \(b\ge0\Rightarrow2y^2-y-1\ge0\) (do trên) (**)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y+1\right)\ge0\Leftrightarrow y\ge1\)
Vậy ta cần chứng minh:\(\left[1+\frac{\left(2y^2+y-1\right)^3}{\left(2y^2-y\right)^3}\right]\left[1+\frac{\left(2y^2-y-1\right)^3}{\left(2y^2+y\right)^3}\right]\le9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(1-y\right)\left(y+1\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)}{y^6}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left[\frac{1}{4}\left(2y^2-1\right)\left(10y^2+9\right)+\frac{5}{4}\right]\le0\)
Cái ngoặc vuông > 0 (do (*) ). Nên ta chỉ cần chứng minh: \(1-y\le0\Leftrightarrow y\ge1\)(hiển nhiên đúng theo (**) )
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left\{\left(2;0\right),\left(0;2\right)\right\}\)
Bài toán quy về 2 bài toán nhỏ hơn!
Cho các số dương ab + bc +ca = 1.
a) Tìm Max: \(M=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
(Lời giải tại: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi. Bài làm của anh Thắng, trong lời giải có phần giống với đề bên trên.)
b) Tìm Min: \(N=a^2+28b^2+28c^2\)
Có: \(N=\frac{1}{4}\left(2a-7b-7c\right)^2+\frac{63}{4}\left(b-c\right)^2+7\left(ab+bc+ca\right)\ge7\left(ab+bc+ca\right)=7\)
Từ đó tìm được \(P\le\frac{9}{4}-7=-\frac{19}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{7}{\sqrt{15}};b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}\)
Với ab + bc + ca = 1 và áp dụng BĐT AM - GM, ta được:
\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)\(\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}.\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}.\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}.\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c}}{2}+\frac{\frac{2b}{a+b}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}}{2}+\frac{\frac{2c}{a+c}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}\)
\(=\frac{\frac{2\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{2\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{b+c}{2\left(b+c\right)}}{2}=\frac{2+2+\frac{1}{2}}{2}=\frac{9}{4}\)(*)
Mặt khác, cũng theo AM - GM, ta có:
\(\frac{a^2}{2}+\frac{49b^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{49b^2}{2}}=7ab\)(1)
\(\frac{a^2}{2}+\frac{49c^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{49c^2}{2}}=7ac\)(2)
\(\frac{7}{2}\left(b^2+c^2\right)\ge\frac{7}{2}.2\sqrt{b^2c^2}=7bc\)(3)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{2a^2+56b^2+56c^2}{2}\ge7\left(ab+bc+ca\right)=7\)
hay \(a^2+28b^2+28c^2\ge7\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2\)
\(\le\frac{9}{4}-7=\frac{-19}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{7}{\sqrt{15}};b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}\)
cái ý 2 thêm vào là:
tìm b để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho P= x2+2y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Gọi chiều dài và chiều rộng của hcn lần lượt là: a, b (m)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}ab=300\\\left(a+5\right)\left(b-3\right)=300\left(1\right)\end{cases}}\)
Từ (1) \(\Rightarrow ab-3a+5b-15=300\)
\(\Leftrightarrow300-3a+5b-15=300\)\(\Leftrightarrow-3a+5b=15\)\(\Leftrightarrow3a-5b=-15\)
Đặt \(c=3a\)và \(d=-5b\)\(\Rightarrow a=\frac{c}{3}\); \(b=\frac{d}{-5}\)
Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{3}.\frac{d}{-5}=300\\c+d=-15\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{cd}{-15}=300\\c+d=-15\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}cd=-4500\\c+d=-15\end{cases}}\)
Áp dụng hệ thức Viets ta có: \(X^2-\left(-15\right)X-4500=X^2+15X-4500\)
\(\Delta=15^2-4.1.\left(-4500\right)=18225\)
\(X_1=c=\frac{-15+\sqrt{18225}}{2}=60\) hoặc \(X_2=d=\frac{-15-\sqrt{18225}}{2}=-75\)
\(\Rightarrow a=\frac{c}{3}=\frac{60}{3}=20\); \(b=\frac{-75}{-5}=15\)
\(\Rightarrow P_{hcn}=2\left(a+b\right)=2\left(20+15\right)=70\)
Vậy chu vi hcn ban đầu là 70 cm
Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\left(km/h\right)\left(x>0\right)\)
\(\Rightarrow\) Vận tốc lúc xuôi dòng là: \(x+4\left(km/h\right)\)
\(\Rightarrow\)Vận tốc lúc ngược dòng là: \(x-4\left(km/h\right)\)
\(\Rightarrow\) Thời gian lúc xuôi dòng là: \(\frac{30}{x+4}h\)
\(\Rightarrow\)Thời gian lúc ngược dòng là: \(\frac{30}{x-4}h\)
Theo bài ra ta có: \(\frac{30}{x+4}+\frac{30}{x-4}=4\left(x\ne\pm4\right)\)
\(\Leftrightarrow30\left(x-4\right)+30\left(x+4\right)=4\left(x-4\right)\left(x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow60x=4x^2-64\)
\(\Leftrightarrow4x^2-60x-64=0\)
\(\Leftrightarrow x=16\)
Vậy vận tốc khi ca nô nước yên lặng là \(16\left(km/h\right)\)