\(A=x^2-6x+9+2\)

\(A=\left(x^2-6x+9\right)+2\)

\(A=\left(x-3\right)^2+2\)

\(A=x^2-6x+11\)    <=>   \(A=x^2-6x+3^2+2\)

<=> \(A=\left(x-3\right)^2+2>2\)

=> đa thức sau vô nghiệm

1) \(A=x^2+2x+2=\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\left(\forall x\right)\)

2) \(B=x^2+6x+11=\left(x+3\right)^2+2\ge2>0\left(\forall x\right)\)

3) \(C=4x^2+4x-2=\left(2x+1\right)^2-2\ge-2\) chưa chắc nhỏ hơn 0

4) \(D=-x^2-6x-11=-\left(x+3\right)^2-2\le-2< 0\left(\forall x\right)\)

5) \(E=-4x^2+4x-2=-\left(2x-1\right)^2-1\le-1< 0\left(\forall x\right)\)

1. \(A=x^2+2x+2=\left(x+1\right)^2+1\)

Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+1\ge1\)

=> Đpcm

2. \(B=x^2+6x+11=\left(x+3\right)^2+2\)

Vì \(\left(x+3\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(x+3\right)^2+2\ge2\)

=> Đpcm

3. \(C=4x^2+4x-2=-\left(4x^2-4x+2\right)\)

\(=-\left(4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1\right)\)

Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow-\left(4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1\right)\le1\)

=> Đpcm

4,5 làm tương tự

\(=\sqrt{8\left(3-\sqrt{5}\right)}=\sqrt{24-8\sqrt{5}=\sqrt{\left(20-4\right)^2}}=20-4=16\)

Bài làm:

Ta có: \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2}-\frac{\left(1-2x\right)^2}{3}+\frac{\left(1+2x\right)^2}{4}-\frac{\left(5-x\right)^2}{6}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{6\left(x^2+2x+1\right)-4\left(1-4x+4x^2\right)+3\left(1+4x+4x^2\right)-2\left(25-10x+x^2\right)}{12}=0\)

\(\Leftrightarrow6x^2+12x+6-4+16x-16x^2+3+12x+12x^2-50+20x-2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow60x-45=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\)

\(\frac{\left(x+1\right)^2}{2}-\frac{\left(1-2x\right)^2}{3}+\frac{\left(1+2x\right)^2}{4}-\frac{\left(5-x\right)^2}{6}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x+1}{2}-\frac{1-4x+4x^2}{3}+\frac{1+4x+4x^2}{4}-\frac{25-10x+x^2}{6}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{6x^2+12x+6}{12}-\frac{4-16x+16x^2}{12}+\frac{3+12x+12x^2}{12}-\frac{50-20x+2x^2}{12}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{6x^2+12x+6-4+16x-16x^2+3+12x+12x^2-50+20x-2x^2}{12}=0\)

\(\Leftrightarrow60x-45=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\)

Ta có:

\(A=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)}{2}\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\)

\(=5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\)

Đặt \(2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)=c\)

Từ công thức: \(a^x\cdot b^x=\left(ab\right)^x\left(a,b,x\inℤ\right)\Rightarrow a^2\cdot b^2=\left(ab\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Nếu \(c\) là số chính phương thì \(5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\) là số chính phương.

Có thể thấy các thừa số của tích \(c\) mà có dạng \(\left(2d\right)^4+4\left(d\inℕ\right)\) thì chia hết cho \(2^2\).

Phân tích các thừa số của tích \(c\) ra thừa số nguyên tố. Ta có:

\(c=2\cdot\left(...\right)\left(2^2\cdot5\cdot13\right)\left(...\right)\left(2^2\cdot5^2\cdot13\right)...\left(2020^4+4=2^2\cdot...\right)\left(2021^4+4=...\cdot...\right)\)

Gộp các thừa số \(2^2\) lại thành tích ta có:

\(c=\left(2^2\right)^{\frac{\left(2021-3+1\right)-1}{2}}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^2\right)^{1009}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) (trong đó ký hiệu \(e\) là tích của các thừa số nguyên tố còn lại trong dãy \(\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\) sau khi 1009 thừa số \(2^2\) bị tách ra.

Có thể thấy tích \(e\) gồm các thừa số nguyên tố lớn hơn 2\(\Rightarrow2e\) không thể là số chính phương.

\(\Rightarrow\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) không phải là số chính phương\(\Rightarrow c\) không phải là số chính phương.

\(\Rightarrow A\) không phải là số chính phương (đpcm).

Bài làm:

Ta có: \(x^4-x^2+2x+7\)

\(=\left(x^4-2x^2+1\right)+\left(x^2+2x+1\right)+5\)

\(=\left(x^2-1\right)^2+\left(x+1\right)^2+5\ge5\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x^2-1=0\\x+1=0\end{cases}}\Rightarrow x=-1\)

Vậy \(Min=5\Leftrightarrow x=-1\)

Bài làm:

Ta có: \(\frac{4-x^2}{x-3}+\frac{2x-2x^2}{3-x}+\frac{5-4x}{x-3}\)

\(=\frac{4-x^2}{x-3}+\frac{2x^2-2x}{x-3}+\frac{5-4x}{x-3}\)

\(=\frac{x^2-6x+9}{x-3}\)

\(=\frac{\left(x-3\right)^2}{\left(x-3\right)}=x-3\) \(\left(x\ne3\right)\)

\(\frac{4-x^2}{x-3}+\frac{2x-2x^2}{3-x}+\frac{5-4x}{x-3}.\)

\(=\frac{4-x^2}{x-3}-\frac{2x-2x^2}{x-3}+\frac{5-4x}{x-3}.\)

\(=\frac{4-x^2-2x+2x^2+5-4x}{x-3}\)

\(=\frac{x^2-6x+9}{x-3}\)

\(=\frac{\left(x-3\right)^2}{x-3}=x-3\)