A O H K P B C

a) Xét \(\Delta\)ACP và \(\Delta\)PCB có: 

^ACP = ^PCB ( ^C chung )

^APC = ^PBC ( cùng chắn cung BP ) 

=> \(\Delta\)ACP ~ \(\Delta\)PCB  ( g-g)

=> \(\frac{CP}{CB}=\frac{AC}{CP}\Rightarrow CP^2=AC.BC\)

b) Ta có: CK; CP là các tiếp tuyến tại K; P

=> CO vuông góc KP

=> H thuộc CO

Ta có: PH // OK ( cùng vuông góc với CK )

         KH // OP ( cùng vuông góc với CP )

=> KOPH là hình bình hành 

=> PH = OK = r

\(hpt\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2+x^2+y^2+1=10\\\left(x+y\right)\left(xy-1\right)=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2+\left(xy-1\right)^2=10\\\left(x+y\right)\left(xy-1\right)=3\end{cases}}\)

Đặt \(u=x+y;v=xy-1\).Hệ trở thành \(\hept{\begin{cases}u^2+v^2=10\\uv=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(u+v\right)^2=16\\uv=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u+v=\pm4\\uv=3\end{cases}}\)

*) Nếu \(\hept{\begin{cases}u+v=4\\uv=3\end{cases}}\)thì ta có \(\hept{\begin{cases}u=3\\v=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}u=1\\v=3\end{cases}}\)

*Với\(\hept{\begin{cases}u=3\\v=1\end{cases}}\)thì   \(\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(2;1\right);\left(1;2\right)\right\}\)

Với \(\hept{\begin{cases}u=1\\v=3\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy-1=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy=4\end{cases}}\)

nên x,y là 2 nghiệm của pt \(t^2-t+4=0\)có \(\Delta=1^2-4.4=-15< 0\)(loại th này)

*) Nếu \(\hept{\begin{cases}u+v=-4\\uv=3\end{cases}}\)

Giải tương tự như trên ta được hệ có 6 nghiệm

\(\left(2;1\right);\left(1;2\right);\left(-3;0\right);\left(0;-3\right);\left(-2;1\right);\left(1;-2\right)\)

Trả lời : 

               Bạn kia làm đúng rồi !

Gọi x là số luống rau , y là số rau mỗi luống 

Điều kiện : x > 4 ; y > 3 ; \(x,y\in N\)

Số cây trong vườn là : xy ( cây )

+ Tăng 8 luống , mỗi luống ít hơn 3 cây thì số luống là x + 8 , số cây mỗi luống là y - 3 

=> Tổng số cây trong vườn là : ( x + 8 )( y - 3 ) cây

Số cây trong vườn ít hơn 54 cây nên ta có p/trình :

\(\left(x+8\right)\left(y-3\right)=xy-54\)

\(\Leftrightarrow xy-3x+8y-24=xy-54\)

\(\Leftrightarrow xy-3x+8y-xy=-54+24\)

\(\Leftrightarrow-3x+8y=-30\)

\(\Leftrightarrow3x-8y=30\)

+ Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số luống là x – 4 và số cây mỗi luống là y + 2

=> Số cây trong vườn là: (x – 4)(y + 2) cây

Số cây trong vườn tăng thêm 32 cây nên ta có phương trình :

(x – 4)(y + 2) = xy + 32

<=> xy – 4y + 2x – 8 = xy + 32

<=> 2x – 4y = 40

Ta có hệ phương trình :

\(\hept{\begin{cases}3x-8y=30\\2x-4y=40\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x-8y=30\\4x-8y=80\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x-8y-\left(3x-8y\right)=50\\4x-8y=80\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=50\\y=15\end{cases}\left(tmđk\right)}\)

Vậy số rau cải bắp nhà Lan trồng là : 15 . 50 = 750 cây

tạ quang minh chi

!@$#%^&*()__++

HPT : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{36}\\\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{x}+\frac{3}{y}=\frac{5}{12}\left(1\right)\\\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2), lấy vế trừ vế ta được :

\(\Leftrightarrow\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}\right)-\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}\right)=\frac{1}{2}-\frac{5}{12}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{12}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}=\frac{5}{36}-\frac{1}{x}=\frac{5}{36}-\frac{1}{12}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=12\\y=18\end{cases}}\)

Gọi quãng đường AB là: x ( x > 0 ) ( km)

     Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là: y ( y > 0 ) ( giờ )

\(\Rightarrow\)10y = x

\(\Leftrightarrow\)x - 10y = 0 ( 1 )

Thời gian thực tế đế người đi xe đạp đi hết nửa quãng đường là: \(\frac{x}{2}:10=\frac{x}{20}\)

Vì muốn đến B kịp giờ nên người ấy phải đi với vânkj tốc 15km/h trên quãng đường còn lại nên =) Thời gian để đi hết quãng đường còn lai là: \(\frac{x}{2}:15=\frac{x}{30}\)giờ

Vì thời gian dự định bằng thời gian thực tế và người đó nghỉ 0,5 giờ ( 30 phút )

\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{20}+\frac{x}{30}+0,5=y\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{12}-y=0,5\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}x-10y=0\\\frac{x}{12}-y=-0,5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=30\\y=3\end{cases}}\)

Vậy quãng đường AB: 30km

t nghĩ đề phải bổ sung là a,b,c > 0 nữa.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

\(\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}-6+\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)}{abc}+\frac{9\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)-27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{abc}-\frac{18\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\left[\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc\right]\ge0\)

cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc+a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-6abc\ge0\)

Ta thấy \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-6abc=a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Thanh Tùng DZ Sao anh ko dùng co si cho nhanh để cm cái bđt cuối ??
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9abc\Rightarrowđpcm\)