Áp dụng bđt AM-GM dạng \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)ta có

\(P^2=x+y+2+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

       \(\le x+y+2+\left(x+1\right)+\left(y+1\right)=202\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{202}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{99}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức bu - nhi - a - cốp - ski cho 2 cặp số ( \(\sqrt{x+1},\sqrt{y+1}\)) và ( 1 , 1 )

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\le\left(x+1+y+1\right).\left(1+1\right)\)= 2.101 = 202

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{x+1}}{1}=\frac{\sqrt{y+1}}{1}\\x+y=99\end{cases}}\) 

                       \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}=\sqrt{y+1}\\x+y=99\end{cases}}\)

                       \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{99}{2}\\y=\frac{99}{2}\end{cases}}\)

\(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\)

\(\ge\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\)

\(=\left[\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\right]+\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+18\)

\(\ge2+8+18=28\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

A B C H P Q

Xét tứ giác APHQ có :

Góc A + Góc APH + Góc PHQ + Góc AQH = 360^o

\(\Rightarrow\)Góc A + 90^o + Góc PHQ + 90^o = 360^o

\(\Rightarrow\)Góc A + Góc PHQ = 180^o

\(\Rightarrow\)Góc A + Góc BHC = 180^o  (Do góc PHQ = góc BHC (Đối đỉnh))

\(\Rightarrow\)ĐPCM

\(ĐKXĐ:x\ge-1\)

\(2\left(x^2+2\right)=5\sqrt{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4=5\sqrt{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow4x^4+16x^2+16=25x^3+25\)

\(\Leftrightarrow25x^3+9-4x^4-16x^2=0\)

\(\Leftrightarrow-4x^4+5x^3-3x^2+20x^3-25x^2+15x+12x^2-15x+9=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2\left(4x^2-5x+3\right)+5x\left(4x^2-5x+3\right)+3\left(4x^2-5x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-\left(4x^2-5x+3\right)\left(x^2-5x-3=0\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}4x^2-5x+3=0\left(ktm\right)\\x^2-5x-3=0\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\\x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là :\(S=\left\{\frac{5-\sqrt{37}}{2};\frac{5+\sqrt{37}}{2}\right\}\)

bạn vào thống kê hỏi đáp của mình bài này làm rồi

Gọi thời gian chảy của vòi thứ nhất để bể đầy là a giờ (a > 0)

\(\Rightarrow\)Thời gian chảy của vòi thứ 2 để bể đầy là a + 2 giờ 

Đổi : 2 giờ 24 phút : = \(\frac{12}{5}\) giờ

\(\Rightarrow\)Nếu cả 2 vòi cùng chảy thì sau một giờ nước trong bể sẽ bằng : \(\frac{1}{\frac{12}{5}}=\frac{5}{12}\)(bể)

Ta có phương trình : 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+2}=\frac{5}{12}\)

\(\Leftrightarrow\frac{12\left(a+2\right)+12a}{12a\left(a+2\right)}=\frac{5a\left(a+2\right)}{12a\left(a+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow12a+24+12a=5a^2+10a\)

\(\Leftrightarrow-5a^2+14a+24=0\)

\(\Leftrightarrow-5a^2-6a+20a+24=0\)

\(\Leftrightarrow-a\left(5a+6\right)+4\left(5a+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5a+6\right)\left(4-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}5a+6=0\\4-a=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-\frac{6}{5}\left(ktm\right)\\a=4\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình để đầy bể là 4 giờ

       thời gian vòi thứ 2 chảy 1 mình để đầy bể là 4 + 2 = 6 giờ.

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}=a\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)

Áp dụng bđt cô - si, ta có: \(1+b^2\ge2b\)

\(\Rightarrow a\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge a\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng ba vế của các bđt trên, ta được:

\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{a}{1+b^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}\ge\frac{3}{2}\)

(Dấu "=" khi a = b = c = 1)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}}=\frac{1}{2}\left(2x^3+x^2+2x+1\right)\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\left(2x^3+x^2+2x+1\right)\)\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(2x^3+x^2+2x+1\right)\Leftrightarrow2x+1=2x^3+x^2+2x+1\)\(\Leftrightarrow2x^3+x^2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}\left(2x^3+x^2+2x+1\right)\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}}=\frac{1}{2}\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

\(x^2+1\ge1\forall x\Rightarrow2x+1\ge0!2x+1!=2x+1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x+1=\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)\Leftrightarrow\left(2x+1\right).\left(1-\left(x^2+1\right)\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}2x+1=0\\-x^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\x=0\end{cases}}}\)

Chúc bạn học tốt !!!