A = ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) - 32

    = [ ( x + 1 )( x + 4 ) ][ ( x + 2 )( x + 3 ) ] - 32

    = [ x² + 5x + 4 ][ x² + 5x + 6 ] - 32

Đặt t = x² + 5x + 4

A <=> t( t + 2 ) - 32

      = t² + 2t - 32

      = ( t² + 2t + 1 ) - 33

      = ( t + 1 )² - 33

      = ( x² + 5x + 4 + 1 )² - 33

      = ( x² + 5x + 5 )² - 33

( x² + 5x + 5 )² ≥ 0 ∀ x => ( x² + 5x + 5 )² - 33 ≥ -33

Đẳng thức xảy ra <=> x² + 5x + 5 = 0 (*)

\(\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot5=25-20=5\)

\(\Delta>0\)nên (*) có hai nghiệm phân biệt 

\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

=> MinA = -33 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)( nghiệm xấu quá )

Hóng cao nhân vào làm nốt hai ý còn lại ạ ... Em bí rồi :P

                                                           Bài giải

A B C D x y 1 1 O

Trong hình thang ABCD có : \(AB\text{ }//\text{ }CD\text{ }\Rightarrow\text{ }\widehat{A}\text{ và }\widehat{D}\text{ là hai góc trong cùng phía }\)

\(\Rightarrow\text{ }\widehat{A}+\widehat{D}=180^o\text{ }\Rightarrow\text{ }\frac{1}{2}\widehat{A}+\frac{1}{2}\widehat{D}=\frac{1}{2}\cdot180^o\text{ }\Rightarrow\text{ }\widehat{A_1}+\widehat{D_1}=90^o\)

Trong \(\Delta AOD\) có : \(\widehat{A_1}+\widehat{O}+\widehat{D_1}=180^o\) Mà \(\text{ }\widehat{A_1}+\widehat{D_1}=90^o\text{ }\Rightarrow\text{ }\widehat{O}=90^o\)

\(\Rightarrow\text{ }Ax\text{ }\perp\text{ }Dx\text{ ( }ĐPCM\text{ )}\)

\(\left(x^2+3x+1\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)\left(3x-1\right)+\left(3x-1\right)^2\)

\(=\left[\left(x^2+3x+1\right)-\left(3x-1\right)\right]^2=\left(x^2+3x+1-3x+1\right)^2\)

\(=\left(x^2+2\right)^2\)

               Bài làm :

Ta có :

\(\left(x^2+3x+1\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)\left(3x-1\right)+\left(3x-1\right)^2\)

\(=\left[\left(x^2+3x+1\right)-\left(3x-1\right)\right]^2\)

\(=\left[x^2+3x+1-3x+1\right]^2\)

\(=\left(x^2+2\right)^2\)

x² - 2x + 3 = ( x² - 2x + 1 ) + 2 = ( x - 1 )² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )

x² - x + 1 = ( x² - x + 1/4 ) + 3/4 = ( x - 1/2 )² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ( đpcm )

x² + 4x + 7 = ( x² + 4x + 4 ) + 3 = ( x + 2 )² + 3 ≥ 3 > 0 ∀ x ( đpcm )

-x² + 4x - 5 = -( x² - 4x + 4 ) - 1 = -( x - 2 )² - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )

-x² - x - 1 = -( x² + x + 1/4 ) - 3/4 = -( x + 1/2 )² - 3/4 ≤ -3/4 < 0 ∀ x ( đpcm )

-4x² - 4x - 2 = -4( x² + x + 1/4 ) - 1 = -4( x + 1/2 )² - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )

\(ĐKXĐ:x\ge0\)

\(\frac{3}{x-4\sqrt{x}+7}=\frac{3}{x-4\sqrt{x}+4+3}=\frac{3}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2+3}\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\ge2\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+2\right)^2\ge4\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2+3\ge7\)\(\Rightarrow\frac{3}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2+3}\ge\frac{3}{7}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy \(minA=\frac{3}{7}\)\(\Leftrightarrow x=0\)

\(A=\frac{3}{x-4\sqrt{x}+7}\)( ĐKXĐ : x ≥ 0 )

Để A đạt GTLN => x - 4√x + 7 đạt GTNN

Ta có : x - 4√x + 7 = [ ( √x )² - 2.2.√x + 4 ] + 3

                              = ( √x - 2 )² + 3 ≥ 3 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> √x - 2 = 0

                             <=> √x = 2

                             <=> x = 4 ( bình phương hai vế ) ( tmđk )

=> MaxA = 1 <=> x = 4

Không dám chắc ạ :(

Bài 1 :                                        Bài giải

A B C D E F O

a, Trong \(\Delta ABC\) vuông tại A có : 

\(AB^2+AC^2=BC^2\text{ }\Rightarrow\text{ }9^2+12^2=81+144=225=BC^2\text{ }\Rightarrow\text{ }BC=5\text{ }cm\)

b, Vì BD là đường phân giác \(\widehat{ABC}\) nên : \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)

Xét 2 tam giác \(\Delta ABD\) vuông tại A và \(\Delta AED\) vuông tại E có : 

\(BD\) : cạnh huyền - cạnh chung 

\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) ( cmt )

\(\Rightarrow\text{ }\Delta ABD=\Delta AED\text{ }\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }AD=DE\text{ }\left(2\text{ cạnh tương ứng }\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }\Delta DAE\text{ cân }\)

c, Trong \(\Delta DEC\text{ }\) vuông tại E có : DC là cạnh đối diện với \(\widehat{E}\) nên \(DC\) là cạnh có độ dài lớn nhất \(\Rightarrow\text{ }DE< DC\)

Mà \(DA=DE\text{ nên }DA< DC\)

d, Vì \(\hept{\begin{cases}DE\text{ }\perp\text{ }BC\\BF\text{ }\perp\text{ }CF\\AB\text{ }\perp\text{ }AC\end{cases}}\text{ }\Rightarrow\text{ }DE\text{ , }AB\text{ và }BF\text{ là đường cao của }\Delta OBC\)

\(\Rightarrow\text{ }AB\text{, }DE\text{ và }CF\text{ đồng quy tại 1 điểm}\)

M = ( x + 1 )³ - x³ + 1 - 3x( x + 1 )

= x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ + 1 - 3x² - 3x

= 2 

Vậy M không phụ thuộc vào biến ( đpcm )

N = ( 2x - 1 )³ - 6x( 2x - 1 )² + 12x²( 2x - 1 ) - 8x³

= [ ( 2x - 1 ) - 2x ]³ ( HĐT số 4 )

= [ 2x - 1 - 2x ]³

= [ -1 ]³ = -1

Vậy N không phụ thuộc vào biến ( đpcm )