\(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{x^2+1}=2y+1\left(1\right)\\y+\sqrt{y^2+1}=2x+1\left(2\right)\end{cases}}\)

Trừ theo vế \(\left(1\right)\)cho\(\left(2\right)\):

\(\left(x-y\right)+\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}\right)=2\left(y-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)+\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\left(3+\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}\right)=0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+1}>|x|\ge x\\\sqrt{y^2+1}>|y|\ge y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow-1< \frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}< 1\)

\(\Rightarrow3+\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}>0\)

\(\Rightarrow x-y=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào: \(x+\sqrt{x^2+1}=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x^2+2x+1=x^2+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x=0\end{cases}}\)

Vậy \(x=y=0\)

(Không chắc lắm sai thì thôi nha @@)

\(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{x^2+1}=2y+1\left(1\right)\\y+\sqrt{y^2+1}=2x+1\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) trừ (2) ta được

\(x-y+\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}=-2\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow x-y+\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(1+\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}+2\right)=0\)

Dễ thấy \(\left(1+\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}+2\right)>0\)

\(\Rightarrow x=y\)

Khi đó \(\left(1\right)\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=x+1\)\(\Leftrightarrow x^2+1=x^2+2x+1\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Vậy (x,y)=(1,1)

\(\text{Ta có:}\)

\(\left(a-1\right)^3+\left(b-2\right)^3+\left(c-3\right)^3=\)

\(\left(a-1\right)^3+\left(b-2\right)^3+\left(c-3\right)^3-3\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)+3\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-6\right)\left(....\right)+3\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=1\text{ hoặc }b=2\text{ hoặc }c=3\)

còn lại ko tính đc bạn ktra lại đề

mk nhầm , chiều mk lm tiếp

\(Đkxđ:x\ge0\)

Ta có: Bất phương trình tương đương với:

\(\left(1+\sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}\right)=2\)

Áp dụng BĐT Cô - si ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\sqrt{\frac{1}{x+1}.\frac{x+1}{3x+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{3x+1}\right)\)

\(\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{2x}{3x+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{2x}{3x+1}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{3x+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{3}{2}\right)\left(1\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{x+3}}=\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{2}{x+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{x+3}\right)\)

\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}}=\sqrt{\frac{x}{x+1}.\frac{x+1}{x+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+3}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2}\right)\left(2\right)\)

Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(1+\sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1}+3\right)=2\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy nghiệm của pt là \(x=1\)

Ta có:  \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{16}{4}=4\)

\(\Rightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le2\left(1\right)\)

Lại có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\left(2\right)\)

Nhân từng vế (1) và (2)=> đpcm

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

sao \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x+y\right)^4}{4}\) vậy ???

A B C M D E F O

Xét \(\Delta ABC\)nội tiếp đường tròn ( O ), M là điểm bất kì thuộc đường tròn, \(MD\perp BC;MF\perp AB;ME\perp AC\)

Tứ giác MDEC có \(\widehat{MEC}=\widehat{MDC}=90^o\) nên là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MDE}+\widehat{MCE}=180^o\) ( 1 )

Tứ giác ABMC là tứ giác nội nên \(\widehat{MCA}=\widehat{MBF}\)( cùng bù với \(\widehat{ABM}\))  ( 2 )

Tứ giác MDBF có \(\widehat{BDM}+\widehat{BFM}=180^o\)nên là tứ giác nội tiếp suy ra \(\widehat{MBF}=\widehat{FDM}\)( 3 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow\widehat{FDM}+\widehat{MDE}=180^o\)hay \(\widehat{FDE}=180^o\)

Vậy 3 điểm D,E,F thẳng hàng