A B C M E c

Gọi Cc là tia phân giác ngoài đỉnh C

Trên tia đổi của CB lấy điểm E sao cho AC = EC

=> \(\Delta ACE\)cân tại C 

Mà Cc là tia phân giác của góc \(\widehat{ACE}\)

=> Cc vừa là Tia phân giác vừa là đường trung trực của AE

=> MA = ME ( tc)

Ta có \(AC+CB\Leftrightarrow EC+CB\left(AC=EC\right)=BE\left(1\right)\)

         \(AM+BM\Leftrightarrow ME+BM\left(2\right)\)

Xét tam giác BME có 

\(BE< ME+BM\left(dl\right)\left(3\right)\)

Từ (1); (2) và (3)

\(\Rightarrow AC+BC< AM+BM\left(đpcm\right)\)

a) \(x^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{36}=\left(x+\frac{1}{6}\right)^2\)

Thay \(x=\frac{-7}{6}\)vào biểu thức ta được: \(\left(\frac{-7}{6}+\frac{1}{6}\right)^2=\left(-1\right)^2=1\)

b) \(x^3-9x^2+27x-27=\left(x-3\right)^3\)

Thay \(x=103\)vào biểu thức ta được: \(\left(103-3\right)^2=100^2=10000\)

c) \(4x^2-y^2-2y-1=4x^2-\left(y^2+2y+1\right)\)

\(=4x^2-\left(y+1\right)^2=\left(2x-y-1\right)\left(2x+y+1\right)\)

Thay \(x=234\)và \(y=465\)vào biểu thức ta được:

\(\left(2.234-465-1\right)\left(2.234+465+1\right)=2.934=1868\)

a) Ta có: \(x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=x^2+2\cdot\frac{1}{6}\cdot x+\left(\frac{1}{6}\right)^2\)

\(=\left(x+\frac{1}{6}\right)^2\) , tại \(x=-\frac{7}{6}\) thì giá trị của BT là:

\(\left(-\frac{7}{6}+\frac{1}{6}\right)^2=1^2=1\)

b) Ta có: \(x^3-9x^2+27x-27=\left(x-3\right)^3\)

Tại x = 103 thì giá trị của BT là:

\(\left(103-3\right)^3=100^3=1000000\)

c) Ta có: \(4x^2-y^2-2y-1\)

\(=\left(2x\right)^2-\left(y+1\right)^2\)

\(=\left(2x-y-1\right)\left(2x+y+1\right)\)

Tại x = 234, y = 465 thì giá trị của BT là:

\(\left(2\cdot234-465-1\right)\left(2\cdot234+465+1\right)\)

\(=2\cdot934=1868\)

Câu a bạn chứng minh được rồi là xong nha !!!!!!!

Câu b) 

\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

Ta lần lượt áp dụng BĐT Cauchy 2 số và sử dụng câu a sẽ được: 

=>   \(B\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{8.3\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

=>   \(B\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

DẤU "=" Xảy ra <=>    \(a=b=c\)

Vậy ta có ĐPCM !!!!!!!!

3x( y + 2 ) - 3( 1 - 2x ) ( như này đúng k -..- )

= 3( xy + 2x ) - 3( 1 - 2x )

= 3[ xy + 2x - ( 1 - 2x ) ]

= 3( xy + 2x - 1 + 2x )

= 3( xy + 4x - 1 )

x² - y² - 2x + 2y 

= ( x² - y² ) - 2( x - y )

= ( x - y )( x + y ) - 2( x - y )

= ( x - y )( x + y - 2 )

2x + 2y - x² - xy

= 2( x + y ) - x( x + y )

= ( x + y )( 2 - x )

\(2x-\left(2x^2+x\right)\le15-\left(2x^2+4x\right)\)

\(\Leftrightarrow x=15-4x\Leftrightarrow5x=15\Leftrightarrow x=3\)Vậy phương trình có nghiệm là x=3

Ta có: \(2x-x\left(2x+1\right)\le15-2x\left(x+2\right)\)

    \(\Leftrightarrow2x-2x^2-x\le15-2x^2-4x\)

    \(\Leftrightarrow x-2x^2+2x^2+4x\le15\)

    \(\Leftrightarrow5x\le15\)

    \(\Leftrightarrow x\le3\)

Vậy \(S=\left\{\forall x\inℝ/x\le3\right\}\)

Gọi độ dài chiều rộng là a

Độ dài chiều dài là 4a

Ta có phương trình  4a*a -(4a+10)(a-5) - 4a*a=150

<=> 4a² -(4a² - 10a - 50)=150

<=> 10a=100 <=> a=10 <=> 4a=40

Vậy chiều rộng là 10m chiều dài là 40m

                   Bài giải

Gọi chiều rộng là a

Độ dài chiều dài là 4a

Ta có phương trình  4a*a -(4a+10)(a-5) - 4a*a=150

<=> 4a² -(4a² - 10a - 50)=150

<=> 10a=100 <=> a=10 <=> 4a=40

                       Đáp số : chiều dài 40 , chiều rộng 10.

\(4x^2-81=0\Leftrightarrow4x^2=81\Leftrightarrow x^2=\frac{81}{4}\Leftrightarrow x=\pm\frac{9}{2}\)

\(4x^2-81=0\)

\(4x^2=81\)

\(x^2=81:4\)

\(x^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow x=\frac{9}{2}\)

Học tốt

Vẽ tia phân giác AM của góc A( M thuộc CD) 

Ta có ^DAM=^BAM (vì AM phân giác)

Mặt khác AB//CD nên ^BAM=^DMA suy ra ^DAM=^DMA do đó tam giác DAM cân tại D suy ra DM=DA suy ra MC=BC => tam giác CMB cân tại C => ^ABM=^CBM( vì cùng bằng ^CMB)

Vậy BM cũng là tia phân giác góc B 

Suy ra ĐPCM

Bài này ta có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá

Ta có:

\(x^4+1\ge2\sqrt{x^4.1}=2x^2\)

\(y^4+4\ge2\sqrt{y^4.4}=4y^2\)

\(z^4+9\ge2\sqrt{z^4.9}=6z^2\)

Nhân vế 3 BĐT này lại ta được:

\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+4\right)\left(z^4+9\right)\ge48x^2y^2z^2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x^4=1\\y^4=4\\z^4=9\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=\pm\sqrt{2}\\z=\pm\sqrt{3}\end{cases}}\)