Có lẽ đề là với mọi a nguyên hãy CM: \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\)chia hết cho 6

Ta có: 

\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left(a^2+2a\right)\)

\(=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)

Vì a nguyên => a ; a+1 ; a+2 là 3 số nguyên liên tiếp

Mà trong 2 số nguyên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 2

Trong 3 số nguyên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3

=> Trong 3 số a ; a+1 ; a+2 sẽ tồn tại 1 số chia hết cho 2 ; 1 số chia hết cho 3

=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 6

=> \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\) chia hết cho 6

=> đpcm

Sửa đề bài 1 : k => x  P/s : đề sai r :)) 

\(A=\left(3-2x\right)3x^2-8+\left(2x+5\right)\left(3x-2\right)-20x\)

\(=9x^2-6x^3-8+6x^2-4x+15x-10-20x=15x^2-6x^3-18-9x\)

Vậy biểu thức phụ thuộc biến x 

\(B=\left(3-5x\right)\left(2x+11\right)-\left(2x+3\right)\left(3x+7\right)\)

\(=6x+33-10x^2-55x-6x^2-14x-9x-21=-72x+12-16x^2\)

Vậy biểu thức phụ thuộc biến x 

Bài 2 : 

a, \(2x\left(x-1\right)-x^2+6=0\Leftrightarrow2x^2-2x-x^2+6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+6=0\)( vô nghiệm )

b, \(\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)-x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=15\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-3\right)-x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=15\)

\(\Leftrightarrow x^2-9-x\left(x^2-4\right)=15\Leftrightarrow x^2-9-x^3+12=15\)

\(\Leftrightarrow-x^3+x^2-12=0\Leftrightarrow x=2\)

A B R C D H

Xét ∆BCR và ∆HAR có:

\(\widehat{R}\left(chung\right)\)

\(\widehat{CBR}=\widehat{AHR}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\)∆BCR ~ ∆HAR (g-g)

\(\Rightarrow\frac{BR}{HR}=\frac{BC}{AH}\Rightarrow\frac{BR}{BC}=\frac{HR}{AH}\Rightarrow\frac{BR}{AD}=\frac{HR}{AH}\)

Xét ∆ADH và ∆RBH cò:

\(\frac{BR}{AD}=\frac{HR}{AH}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{DAH}=\widehat{BRH}\)( cùng phụ với \(\widehat{HAR}\))

\(\Rightarrow\)∆ADH ~ ∆RBH (c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{RHB}\)

\(\Rightarrow\widehat{AHD}+\widehat{AHB}=\widehat{RHB}+\widehat{AHB}\)

\(\Rightarrow\widehat{BHD}=\widehat{AHR}\)

Mà \(\widehat{AHR}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BHD}=90^0\)(đpcm)

a, \(x^2-4x+3=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0\)

TH1 : x = 3 ; TH2 : x = 1

b, \(2x^2-3x-2=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0\)

TH1 : x = 2 ; TH2 : x = -1/2 

c, Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\)

\(t^2+2t-8=0\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+4\right)=0\)

TH1 : t  = 2 ; TH2 : t = -4 

Tương tự ... 

1a) 

x² - 4x + 3 = x² - x - 3x + 3 

                  = x( x - 1 ) - 3( x - 1 )

                  = ( x - 1 )( x - 3 )

2c) 

2x² - 3x - 2 = 2x² + x - 4x - 2 

                   = x( 2x +1 ) - 2( 2x + 1 )

                   = ( 2x + 1 )( x - 2 ) 

3e)

x⁴ + 2x² - 8 (*)

Đặt t = x²

(*) <=> t² + 2t - 8

       = t² - 2t + 4t - 8 

       = t( t - 2 ) + 4( t - 2 )

       = ( t - 2 )( t + 4 )

       = ( x² - 2 )( x² + 4 )

4b) x² + 4x - 12 = x² - 2x + 6x - 12

                          = x( x - 2 ) + 6( x - 2 )

                          = ( x - 2 )( x + 6 )

d) 2x³ + x - 2x² - 1 = 2x²( x - 1 ) + 1( x - 1 )

                               = ( x - 1 )( 2x² + 1 )

f) x² - 2xy - 3y² = ( x² - 2xy + y² ) - 4y²

                         = ( x - y )² - ( 2y )²

                         = ( x - y - 2y )( x - y + 2y )

                         = ( x - 3y )( x + y )

\(\left(4x+\frac{1}{4}\right)^3=64x^3+12x^2+\frac{3x}{4}+\frac{1}{64}\)

\(\left(3x+\frac{2}{x}\right)^3=27x^3+54x+\frac{36}{x}+\frac{8}{x^3}\)

\(\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^3=x^6+3x^3+2+\frac{1}{x^3}\)

Tương tự ... 

6) \(\left(4x+\frac{1}{4}\right)^3=64x^3+12x^2+\frac{3}{4}x+\frac{1}{64}\)

7) \(\left(3x+\frac{2}{x}\right)^3=27x^3+54x+\frac{36}{x}+\frac{8}{x^3}\)

8) \(\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^3=x^6+3x^3+3+\frac{1}{x^3}\)

9) \(\left(x+\frac{2}{xy}\right)^3=x^3+\frac{6x}{y}+\frac{12}{xy^2}+\frac{8}{x^3y^3}\)

10) \(\left(x^2+\frac{2}{xy}\right)^3=x^6+\frac{6x^3}{y}+\frac{12}{y^2}+\frac{8}{x^3y^3}\)

Xét \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left[\left(x-y\right)+x\right]\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+x.\left(x^2+y^2+xy\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge x^3-y^3+x^3+xy^2+x^2y\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2.\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) ( Luôn đúng )

Vậy \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)