x² + 2y² + 2xy - 4x + 6y + 29 = 0

<=> ( x² + 2xy + y² - 4x - 4y + 4 ) + ( y² + 10y + 25 ) = 0

<=> [ ( x² + 2xy + y² ) - 2( x + y ).2 + 2² ] + ( y + 5 )² = 0

<=> ( x + y - 2 )² + ( y + 5 )² = 0 (*)

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+y-2\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(y+5\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(x+y-2\right)^2+\left(y+5\right)^2\ge0\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra ( tức (*) ) <=> \(\hept{\begin{cases}x+y-2=0\\y+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=-5\end{cases}}\)

Vậy x = 7 ; y = -5

1. ( 2x + y )( 4x² - 2xy + y² ) - 8x³ - y³ - 16

= [ ( 2x )³ + y³ ] - 8x³ - y³ - 16

= 8x³ + y³ - 8x³ - y³ - 16

= -16 ( đpcm )

2. ( 3x + 2y )² + ( 3x + 2y )² - 18x² - 8y² + 3

= 2( 3x + 2y )² - 18x² - 8y² + 3

= 2( 9x² + 12xy + 4y² ) - 18x² - 8y² + 3

= 18x² + 24xy + 8y² - 18x² - 8y² + 3

= 24xy + 3 ( có phụ thuộc vào biến )

3. ( -x - 3 )³ + ( x + 9 )( x² + 27 ) + 19

= -x³ - 9x² - 27x - 27 + x³ + 9x² + 27x + 243 + 19

= -27 + 243 + 19 = 235 ( đpcm )

4. ( x - 2 )³ - x( x + 1 )( x - 1 ) + 13( x - 4 )

= x³ - 6x² + 12x - 8 - x( x² - 1 ) + 13x - 52

= x³ - 6x² + 12x - 8 - x³ + x + 13x - 52

= -6x² + 26x - 60 ( có phụ thuộc vào biến )

1. (2x+y).(4x²-2xy+y²)-8x³-y³-16

=(2x)³+y³-8x³-y³-16

=-16

Vậy đa thức trên kh phụ thuộc vào biến x

2. (3x+2y)²+(3x+2y)²-18x²-8y²+3

=(9x²+12xy+4y²)+(9x²+12xy+4y²)-18x²-8y²+3

=9x²+12xy+4y²+9x²+12xy+4y²-18x²-8y²+3

=24xy+3

Vậy đa thức trên phụ thuộc biến x

\(\frac{2013n^2+3}{8}\inℤ\Leftrightarrow2013n^2+3⋮8\Leftrightarrow8.251.n^2+5n^2+3⋮8\)

Vì \(8.251.n^2⋮8\) nên  \(5n^2+3⋮8\Leftrightarrow5n^2+3-8⋮8\Leftrightarrow5\left(n^2-1\right)⋮8\)

Vì 5 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(n^2-1⋮8\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮8\)

Vì các số nguyên tố lớn hơn 2 đều lẻ nên sẽ có dạng (4k+1) hoặc (4k+3), k là số tự nhiên

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\orbr{\begin{cases}\left[\left(4k+1\right)-1\right]\left[\left(4k+1\right)+1\right]=4k\left(4k+2\right)⋮8\\\left[\left(4k+3\right)-1\right]\left[\left(4k+3\right)+1\right]=\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)⋮8\end{cases}}\)

(Vì (4k+2) là số chẵn và (4k), (4k+4) đều chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết cho 8)                     ---->đpcm

ĐKXĐ : x,y ∈ Z

a) xy + 3x - 2y - 7 = 0

<=> x( y + 3 ) - 2( y + 3 ) - 1 = 0

<=> ( y + 3 )( x - 2 ) = 1

Ta có bảng sau :

Vậy ( x ; y ) = { ( 3 ; -2 ) , ( 1 ; -4 ) }

b) xy - x + 5y - 7 = 0

<=> x( y - 1 ) + 5( y - 1 ) - 2 = 0

<=> ( y - 1 )( x + 5 ) = 2

Ta có bảng sau :

Vậy ( x ; y ) = { ( -4 ; 3 ) , ( -6 ; -1 ) , ( -3 ; 2 ) , ( -7 ; 0 ) }

c) x + 2y = xy + 2

<=> x + 2y - xy - 2 = 0

<=> x( 1 - y ) - 2( 1 - y ) = 0

<=> ( x - 2 )( 1 - y ) = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\1-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

Vậy ( x ; y ) = ( 2 ; 1 )

à cho mình sửa ý c) một chút nhé

( x - 2 )( 1 - y ) = 0

Với x - 2 = 0 => x = 2 và nghiệm đúng ∀ y ∈ R

Với 1 - y = 0 => y = 1 và nghiệm đúng ∀ x ∈ R

\(\left(\frac{1}{3}x+2\right)\left(3x-6\right)\)

\(=\frac{1}{3}x\left(3x-6\right)+2\left(3x-6\right)\)

\(=x^2-2x+6x-12\)

\(=x^2+4x-12\)

\(\left(x^2-3x+9\right)\left(x+3\right)\)

\(=\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=x^3+27\)

a) (1/3x+2).(3x-6) = (1​​/3x.3x)+(1/3x.-6)+(2.3x)+(2.-6) = x^2-2x+6x-12 = x^2+4x-12 = x^2+2x2+2^2-16 = (x+2)^2-16

b) (x^2-3x+9).(x+3) = (x^2.x)+(x^2.3)+(-3x.x)+(-3x.3)+(9.x)+(9.3) = x^3+3x^2-3x^2-9x+9x+27 = x^3+27

c) (-2xy+3).(xy-1) = (-2xy.xy)+(-2xy.-1)+(3.xy)+(3.-1) = -2x^2y^2+2xy+3xy-3 = -2x^2y^2+5xy-3

d) x(xy-1).(xy+1) = (x^2y-x).(xy+1) = (x^2y.xy)+(x^2y.1)+(-x.xy)+(-x.1) = x^3y^2+x^2y-x^2y-x = x^3y^2-x

+) \(A=x^2+2x-9=x^2+2x+1-10=\left(x+1\right)^2-10\ge-10\)

Min A = -10 \(\Leftrightarrow x=-1\)

+) \(B=x^2+5x-1=x^2+5x+\frac{25}{4}-\frac{29}{4}=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{29}{4}\ge\frac{-29}{4}\)

Min B = -29/4 \(\Leftrightarrow x=\frac{-5}{2}\)

+) \(C=x^2+4x=x^2+4x+4-4=\left(x+2\right)^2-4\ge-4\)

Min C = -4 \(\Leftrightarrow x=-2\)

+) \(D=x^2-8x+17=x^2-8x+16+1=\left(x-4\right)^2+1\ge1\)

Min D = 1 \(\Leftrightarrow x=4\)

+) \(E=x^2-7x+1=x^2-7x+\frac{49}{4}-\frac{45}{4}=\left(x-\frac{7}{2}\right)-\frac{45}{4}\ge-\frac{45}{4}\)

Min E = -45/4 \(\Leftrightarrow x=\frac{7}{2}\)

A = x² + 2x - 9 

= ( x² + 2x + 1 ) - 10

= ( x + 1 )² - 10 ≥ -10 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 1 = 0 => x = -1

=> MinA = -10 <=> x = -1

B = x² + 5x - 1

= ( x² + 5x + 25/4 ) - 29/4

= ( x + 5/2 )² - 29/4 ≥ -29/4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 5/2 = 0 => x = -5/2

=> MinB = -29/4 <=> x = -5/2

C = x² + 4x

= ( x² + 4x + 4 ) - 4

= ( x + 2 )² - 4 ≥ -4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 2 = 0 => x = -2

=> MinC = -4 <=> x = -2

D = x² - 8x + 17

= ( x² - 8x + 16 ) + 1

= ( x - 4 )² + 1 ≥ 1 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 4 = 0 => x = 4

=> MinD = 1 <=> x = 4

E = x² - 7x + 1

= ( x² - 7x + 49/4 ) - 45/4

= ( x - 7/2 )² - 45/4 ≥ -45/4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 7/2 = 0 => x = 7/2

=> MinE = -45/4 <=> x = 7/2

ĐKXĐ : x khác 2

\(\frac{x+2}{x-2}-\frac{5}{x}=\frac{8}{x^2-2x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+2\right)-5\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-5x+10=8\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

\(\frac{x+2}{x-2}-\frac{5}{x}=\frac{8}{x^2-2x}\)

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x-2\ne0\\x\ne0\\x^2-2x\ne0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne2\\x\ne0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2}{x-2}-\frac{5}{x}=\frac{8}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{5\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x}{x\left(x-2\right)}-\frac{5x-10}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x-5x+10}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-3x+10}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+10=8\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+10-8=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\\x=2\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

\(A=x^2+9x+25\)

\(=x^2+2x\frac{9}{2}+\frac{81}{4}+\frac{19}{4}\)

\(=\left(x+\frac{9}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\forall x\)

Dấu"="xảy ra khi \(\left(x+\frac{9}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{-9}{2}\)

Vậy \(Min_A=\frac{19}{4}\Leftrightarrow x=\frac{-9}{2}\)

b,\(B=4x^2-8x+\frac{21}{2}\)

\(=4\left(x^2-2x+1\right)+\frac{13}{2}\)

\(=4\left(x-1\right)^2+\frac{13}{2}\ge\frac{13}{2}\forall x\)

Dấu"="xảy ra khi \(4\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=1\)

Vậy \(Min_B=\frac{13}{2}\Leftrightarrow x=1\)

c,\(C=-x^2+2x+\frac{5}{2}\)

\(=-\left(x^2-2x-\frac{5}{2}\right)\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)+\frac{7}{2}\)

\(=-\left(x-1\right)^2+\frac{7}{2}\le\frac{7}{2}\forall x\)

Dấu"="xảy ra khi \(-\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=1\)

Vậy\(Max_C=\frac{7}{2}\Leftrightarrow x=1\)

Bài 1.

A = x² + 9x + 25

= ( x² + 9x + 81/4 ) + 19/4

= ( x + 9/2 )² + 19/4 ≥ 19/4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 9/2 = 0 => x = -9/2

=> MinA = 19/4 <=> x = -9/2

B = 4x² - 8x + 21/2

= 4( x² - 2x + 1 ) + 13/2

= 4( x - 1 )² + 13/2 ≥ 13/2 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1 = 0 => x = 1

=> MinB = 13/2 <=> x = 1

C = -x² + 2x + 5/2

= -( x² - 2x + 1 ) + 7/2

= -( x - 1 )² + 7/2 ≤ 7/2 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1 = 0 => x = 1

=> MaxC = 7/2 <=> x = 1

D = -9x² - 12x + 27/2

= -9( x² + 4/3x + 4/9 ) + 35/2

= -9( x + 2/3 )² + 35/2 ≤ 35/2 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 2/3 = 0 => x = -2/3

=> MaxD = 35/2 <=> x = -2/3

Bài 2.

a) 4x² + 9y² + 12x + 12y + 13 = 0

<=> ( 4x² + 12x + 9 ) + ( 9y² + 12y + 4 ) = 0

<=> ( 2x + 3 )² + ( 3y + 2 )² = 0 (*)

\(\hept{\begin{cases}\left(2x+3\right)^2\ge0\forall x\\\left(3y+2\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(2x+3\right)^2+\left(3y+2\right)^2\ge0\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra ( tức (*) ) <=> \(\hept{\begin{cases}2x+3=0\\3y+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=-\frac{2}{3}\end{cases}}\)

=> x = -3/2 ; y = -2/3

b) 16x² + 4y² - 8x + 12y + 10 = 0

<=> ( 16x² - 8x + 1 ) + ( 4y² + 12y + 9 ) = 0

<=> ( 4x - 1 )² + ( 2y + 3 )² = 0 (*)

\(\hept{\begin{cases}\left(4x-1\right)^2\ge0\forall x\\\left(2y+3\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(4x-1\right)^2+\left(2y+3\right)^2\ge0\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra ( tức (*) ) <=> \(\hept{\begin{cases}4x-1=0\\2y+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

=> x = 1/4 ; y = -3/2

Ta có: \(2\left(2x+5\right)^2-3\left(4x+1\right)\left(1-4x\right)\)

\(=2\left(4x^2+20x+25\right)+3\left(4x+1\right)\left(4x-1\right)\)

\(=8x^2+40x+50+48x^2-3\)

\(=56x^2+40x+47\)

2( 2x + 5 )² - 3( 4x + 1 )( 1 - 4x )

= 2( 4x² + 20x + 25 ) + 3( 4x + 1 )( 4x - 1 )

= 8x² + 40x + 50 + 3( 16x² - 1 )

= 8x² + 40x + 50 + 48x² - 3

= 56x² + 40x + 47