b) Vì \(\left|a\right|=\left|-a\right|\)\(\Rightarrow\)\(\left|x-2020\right|=\left|2020-x\right|\)

    Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)biểu thức P(x), ta có:

   \(\left|2020-x\right|+\left|x+2021\right|\ge\left|2020-x+x+2021\right|=4041\)

     \(\Rightarrow\)\(P\left(x\right)\ge4041\)

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left(2020-x\right)\left(x+2021\right)>0\)

                                            \(\Leftrightarrow-2021< x< 2020\)

 Vậy \(P\left(x\right)_{min}=4041\)\(\Leftrightarrow\)\(-2021< x< 2020\)

a,Thay x=1 là nghiệm của đa thức P(x)

Ta có:ax²+bx+c=0

          a.1²+b.1+c=0

          a+b+c=0

=>x=1 là nghiệm của P(x)    (đpcm)

Đặt \(x+6=a;y-7=b;z-9=c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^3+b^3+c^3=0\end{cases}}\)

Bạn hiểu chưa :))

Đặt x+6=a, y-7=b, z-9=c

Vì x+y+z=10 nên a+b+c=0

Xét \(a^3+b^3+c^3=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=-3abc\)(1)

Ta có đẳng thức (bạn nên học đẳng thức này nhé vì nó cực kì thông dụng trong toán nâng cao):

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]}{2}\)(2)

Vì a+b+c=0 nên từ (1), (2) suy ra \(\hept{\begin{cases}-3abc=0\\a+b+c=0\end{cases}\Rightarrow a=b=c=0}\)

Vậy M = a²⁰¹⁹+b²⁰¹⁹+c²⁰¹⁹=0

a) 

\(VT=\left(x^2-2^2\right)\left(x^2+4\right)\) 

\(=\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\) 

\(=\left(x^2\right)^2-4^2\) 

\(=x^4-16\) 

\(=VP\) 

b) 

\(VT=x^3+x^2y-x^2y-xy^2+xy^2+y^3\) 

\(=x^3+y^3\) 

\(=VP\)  

( x + 2 )( x - 2 )( x² + 4 )

= ( x² - 4 )( x² + 4 ) ( xài HĐT a² - b² = ( a - b )( a + b ) nhé ^^ )

= x⁴ - 16 ( đpcm )

( x² - xy + y² )( x + y )

= x³ + x²y - x²y - xy² + xy² + y³

= x³ + y³ ( đpcm )

1. 9x² - 6x + 2

= ( 9x² - 6x + 1 ) + 1

= ( 3x - 1 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x ( đpcm )

2. x² + 2x + 3

= ( x² + 2x + 1 ) + 2

= ( x + 1 )² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )

3. 2x² + 2x + 1

= 2( x² + x + 1/4 ) + 1/2

= 2( x + 1/2 )² + 1/2 ≥ 1/2 > 0 ∀ x ( đpcm )

4. 4x² - 12x + 10

= ( 4x² - 12x + 9 ) + 1

= ( 2x - 3 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x ( đpcm )

1) \(9x^2-6x+2=\left(3x-1\right)^2+1>0\)

2) \(x^2+2x+3=\left(x+1\right)^2+2>0\)

3) \(2x^2+2x+1=x^2+\left(x+1\right)^2>0\)(Lẽ ra là lớn hơn hoặc bằng 0 nhưng x² và (x+1)² không thể cùng lúc bằng 0 nên không thể xảy ra dấu bằng)

4) \(4x^2-12x+10=\left(2x-3\right)^2+1>0\)

( x² - 4x + 16 )( x + 4 ) - x( x + 1 )( x + 2 ) + 3x² = 0

<=> x³ + 4³ - x( x² + 3x + 2 ) + 3x² = 0

<=> x³ + 64 - x³ - 3x² - 2x + 3x² = 0

<=> 64 - 2x = 0

<=> 2x = 64

<=> x = 32

( 8x + 2 )( 1 - 3x ) + ( 6x - 1 )( 4x - 10 ) = -50

<=> 2x - 24x² + 2 + 24x² - 64x + 10 = -50

<=> -62x + 12 = -50

<=> -62x = -62

<=> x = 1 

\(A=3x^2-x+6x-2-3x^2-3x-2x+7\)  

\(=5\)  

Vậy A không phụ thuộc vào x  

\(B=\left(2x\right)^2-3^2-3x-4x^2+3x+1\) 

\(=4x^2-9-3x-4x^2+3x+1\) 

\(=-8\)  

Vậy B không phụ thuộc vào biến x 

A = ( x + 2 )( 3x - 1 ) - x( 3x + 3 ) - 2x + 7 

= 3x² + 5x - 2 - 3x² - 3x - 2x + 7

= 5

Vậy A không phụ thuộc vào biến ( đpcm )

B = ( 2x - 3 )( 2x + 3 ) - x( 3 + 4x ) + 3x + 1

= [ ( 2x )² - 3² ] - 3x - 4x² + 3x + 1

= 4x² - 9 - 4x² + 1

= -8

Vậy B không phụ thuộc vào biến ( đpcm ) 

\(\frac{2,25\cdot10^{16}}{3\cdot10^5}\) 

\(=\frac{\frac{9}{4}\cdot10^{16}}{3\cdot10^5}\)  

\(=\frac{3}{4}\cdot10^{11}\)

G = x² - 3x + 5

= ( x² - 3x + 9/4 ) + 11/4

= ( x - 3/2 )² + 11/4 ≥ 11/4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 3/2 = 0 => x = 3/2

=> MinG = 11/4 <=> x = 3/2

H = ( 2x - 1 )² + ( x + 2 )²

= 4x² - 4x + 1 + x² + 4x + 4

= 5x² + 5 ≥ 5 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> 5x² = 0 => x = 0

=> MinH = 5 <=> x = 0

I = x² - 2x + y² - 4y + 10

= ( x² - 2x + 1 ) + ( y² - 4y + 4 ) + 5

= ( x - 1 )² + ( y - 2 )² + 5 ≥ 5 ∀ x,y

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

=> MinI = 5 <=> x = 1 ; y = 2

K = x² + 5y² - 2xy + 4y + 3

= ( x² - 2xy + y² ) + ( 4y² + 4y + 1 ) + 2

= ( x - y )² + ( 2y + 1 )² + 2 ≥ 2 ∀ x, y

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\2y+1=0\end{cases}\Rightarrow}x=y=-\frac{1}{2}\)

=> MinK = 2 <=> x = y = -1/2

E = 2x² + y² + 2xy - 4x + 14

= ( x² + 2xy + y² ) + ( x² - 4x + 4 ) + 10

= ( x + y )² + ( x - 2 )² + 10 ≥ 10 ∀ x, y

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}}\)

=> MinE = 10 <=> x = 2 ; y = -2

Đặt \(a+2=x,b+2=y,c+2=z,\)\(x,y,z\ge2\)

Đề bài \(\Leftrightarrow x+y+z-6\ge\frac{x-y}{y}+\frac{y-z}{z}+\frac{z-x}{x}=\frac{x}{y}-1+\frac{y}{z}-1+\frac{z}{x}-1\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-\frac{1}{x}\right)+y\left(1-\frac{1}{y}\right)+z\left(1-\frac{1}{z}\right)\ge3\)

Vì \(x,y,z\ge2\Rightarrow\left(1-\frac{1}{x}\right),\left(1-\frac{1}{y}\right),\left(1-\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{2}\)

Do đó \(x\left(1-\frac{1}{x}\right)+y\left(1-\frac{1}{y}\right)+z\left(1-\frac{1}{z}\right)\ge3\)Luôn đúng \(\forall x,y,z\ge2\)---> đpcm