Nhớ làm đâu đó rồi mà làm biếng lục vc:(

Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(3u;3v^2;w^3\right)\). Ta đi chứng minh \(P\ge28\)

\(\Leftrightarrow\frac{v^2}{3u^2-2v^2}+\frac{27u^3}{w^3}\ge28\). Chú ý rằng: \(w^3\le uv^2\). Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\Leftrightarrow\frac{v^2}{3u^2-2v^2}+\frac{27u^2}{v^2}\ge28\)\(\Leftrightarrow\frac{3\left(u^2-v^2\right)\left(27u^2-19v^2\right)}{v^2\left(3u^2-2v^2\right)}\ge0\)

Hiển nhiên đúng do \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow u^2\ge v^2\)...

P/s: Bài này dùng SOS đi cho lẹ:D

Cách 2:

\(P-28=\frac{\left(a+b+c\right)^2\left[\Sigma_{cyc}a\left(b-c\right)^2\right]}{abc\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(\Sigma_{cyc}a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)\left(9\Sigma_{cyc}a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge0\)

Vậy \(P\ge28\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

a. Thay \(m=-2\) vào pt đề cho ta được pt:

\(x^2-6x-7=0\left(2\right)\)

Lại có: \(a-b+c=1+6-7=0\) nên pt 2 có nghiệm là: \(x_1=1\)và \(x_2=7\)

b. Ta có: \(\Delta'=\left(-3\right)^2-1\left(2m-3\right)=9-2m+3=12-2m\)

Để pt 1 có 2 nghiệm \(x_1;x_2\Leftrightarrow12-2m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le6\)

Theo hệ thức vi-ét ta được: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=6\\x_1.x_2=2m-3\end{cases}}\left(3\right)\)

Theo đề bài ta có: \(x^2_1x_2+x_1x_2^2=24\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=24\left(4\right)\)

Thay \(\left(3\right)\)vào \(\left(4\right)\)ta được:

\(6\left(2m-3\right)=24\)

\(\Rightarrow2m-3=4\)

\(\Rightarrow2m=7\)

\(\Rightarrow m=\frac{7}{2}\left(tmđkxđ\right)\)

Vậy .............

b, \(\Delta'=\left(-6\right)^2-1.\left(2m-3\right)=36-2m+3=39-2m\)

Để pt (1) có 2 nghiệm <=> \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow39-2m\ge0\Leftrightarrow m\le\frac{39}{2}\)

Theo hệ thức vi-ét ta có: \(x_1+x_2=\frac{-\left(-6\right)}{1}=6;x_1x_2=\frac{2m-3}{1}=2m-3\)

Theo bài ra ta có: \(x_1^2x_2+x_1x_2^2=24\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=24\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3\right).6=24\Leftrightarrow2m-3=24\)

\(\Leftrightarrow2m=27\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}\left(TM\right)\)

Gọi vận tốc cano là x (km/h), vận tốc dòng nước là y (km/h)
Khi cano xuôi dòng:
12/(x+y) + 12/(x-y) = 2,5 (1)
Khi cano xuôi dòng 4km và ngược dòng 8km:
4/(x+y) + 8/(x-y) = 4/3 (2)
Từ (1) và (2) => 1/(x+y) = 1/12 và 1/(x-y) = 1/8
=> x+y =12 và x-y =8
=> x = (12+8)/2 =10
y =x-8 =2
Vận vận tốc cano là 10 km/h, vận tốc dòng nước là 2 km/h.

               @học tốt nha!

Gọi vận tốc cano là x (km/h), vận tốc dòng nước là y (km/h)
Khi cano xuôi dòng:
12/(x+y) + 12/(x-y) = 2,5 (1)
Khi cano xuôi dòng 4km và ngược dòng 8km:
4/(x+y) + 8/(x-y) = 4/3 (2)
Từ (1) và (2) => 1/(x+y) = 1/12 và 1/(x-y) = 1/8
=> x+y =12 và x-y =8
=> x = (12+8)/2 =10
y =x-8 =2
Vận vận tốc cano là 10 km/h, vận tốc dòng nước là 2 km/h.

\(ĐK:x\ge-3\)

Đặt \(\sqrt{x+3}=a\left(a\ge0\right)\)

\(PT\Leftrightarrow2x^2+a^2=3ax\)

\(\Leftrightarrow2x^2-3ax+a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(2x-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=a\\2x=a\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x+3=x^2\\x+3=4x^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{37}}{2}\)hoặc x=1 hoặc x=\(-\frac{3}{4}\)

Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\), ta có pt: \(t^2-3t-4=0\)

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4.1.\left(-4\right)=25>0\)

=> \(t_1=\frac{3+\sqrt{25}}{2.1}=4\left(TM\right);t_2=\frac{3-\sqrt{25}}{2.1}=-1\left(loai\right)\)

Với \(t=4\Rightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm2\)

Vậy....