Ta dễ có hệ: \(\hept{\begin{cases}\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{cases}}\)

Đặt \(\sin\alpha=x;\cos\alpha=y\)thì hệ trở thành \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{2}\\x^2+y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{2}\\xy=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

x, y là nghiệm của phương trình \(t^2-\sqrt{2}t+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow\left(t-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)hay \(\sin\alpha=\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}\)suy ra \(\tan\alpha=\cot\alpha=1\)

ta có điều kiện xác định là \(\hept{\begin{cases}2x+3\ge0\\x+2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow x\ge-\frac{3}{2}}\)

bất phương trình \(\Leftrightarrow2x+3+2\sqrt{2x+3}\sqrt{x+2}+x+2\le1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(2x+3\right)\left(x+2\right)}\le-4-3x\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-4-3x\ge0\\4\left(2x+3\right)\left(x+2\right)\le\left(4+3x\right)^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le-\frac{4}{3}\\x^2-4x-8\ge0\end{cases}\Rightarrow x\le2-2\sqrt{3}}\)kết hợp lại đk ta có \(x\in\left[-\frac{3}{2};2-2\sqrt{3}\right]\)

ĐK:     \(x\ge4;x\ne3\)   

Ta có: \(\frac{\sqrt{x^2-4x}}{3-x}\le2\) 

\(\Rightarrow3-x\le2\)

\(\Leftrightarrow-x\le-1\)

\(\Leftrightarrow x\ge1\)

Mà \(x\ge4;x\ne3\)

\(\Rightarrow x\ge4\)

Vậy \(x\ge4\)là giá trị cần tìm

1) \(2\left(1-a\right)^2\ge1-2a^2\)

\(\Leftrightarrow2-4a+2a^2-1+2a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, mà biến đổi tương đương nên bất đẳng thức ban đầu cũng đúng. 

2) \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\ge\left(1+ab\right)^2\)

\(\Leftrightarrow1+a^2+b^2+a^2b^2-1-2ab-a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, mà biến đổi tương đương nên bất đẳng thức ban đầu cũng đúng. 

c) Câu này sai đề rồi nha. 

d) Làm tương tự a), b).