Xét tg vuông ABC

\(MB=MC\left(gt\right)\Rightarrow MA=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Xét tg MAC có

MA=MC (cmt) => tg MAC cân tạo M \(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ACB}\) (1)

\(\widehat{ABC}=\widehat{HAC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) ) (2)

Gọi O là giao của AH và PQ

Xét tứ giác APHQ có

\(AB\perp AC\left(gt\right);HQ\perp AC\left(gt\right)\) => AB//HQ

\(AC\perp AB\left(gt\right);HP\perp AB\left(gt\right)\) => AC//HP

=> APHQ là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi 1 là hbh)

Mà \(\widehat{A}=90^o\left(gt\right)\) => APHQ là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AH=PQ\) (2 đường chéo HCN băng nhau)

Mà OA=OH; OP= OQ (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> OA=OH=OP=OQ => tg OAQ là tg cân tạo O

\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{AQP}\) (góc ở đáy tg cân) (3)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{AQP}\) (4)

Xét tg vuông ABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (5)

Từ (1) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{AQP}+\widehat{MAC}=90^o\)

Gọi K là giao của PQ và AM, xét tg AKQ có

\(\widehat{AKQ}=180^o-\left(\widehat{AQP}+\widehat{MAC}\right)=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow PQ\perp AM\left(dpcm\right)\)

có đc chép mạng ko bạn

Mik tự viết nhé, có j k hay thông cảm:

Vào thời gian rảnh rỗi em thường thích đọc sách. Đọc sách vừa thú vị lại vừa bổ ích. Không những thế, nhờ có nhiều vốn từ mà đi thi em luôn đc điểm cao. Em rất thích đọc sách kiểu vừa đọc vừa ghi nhớ và suy nghĩ, còn các bạn thì sao, các bạn thích đọc sách kiểu gì? Riêng về phần mình thì mình yêu sách lắm...

367+1290{36:6}?

Bài `1`

\(a,5x^2-10xy=5x\left(x-2y\right)\\ b,3x\left(x-y\right)-6\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(3x-6\right)\\ =3\left(x-y\right)\left(x-2\right)\\ c,2x\left(x-y\right)-4y\left(y-x\right)=2x\left(x-y\right)+4y\left(x-y\right)\\ =\left(x-y\right)\left(2x+4y\right)=2\left(x-y\right)\left(x+2y\right)\\ d,9x^2-9y^2=\left(3x\right)^2-\left(3y\right)^2=\left(3x-3y\right)\left(3x+3y\right)\\ f,xy-xz-y+z=\left(xy-xz\right)-\left(y-z\right)\\ =x\left(y-z\right)-\left(y-z\right)=\left(y-z\right)\left(x-1\right)\)

Bài `3`

\(a,3x^2+8x=0\\ \Leftrightarrow x\left(3x+8\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\3x+8=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\3x=-8\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

\(b,9x^2-25=0\\ \Leftrightarrow\left(3x\right)^2-5^2=0\\ \Leftrightarrow\left(3x-5\right)\left(3x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-5=0\\3x+5=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=5\\3x=-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,x^3-16x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x^2-16\right)=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-4=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\\x=-4\end{matrix}\right.\)

\(d,x^3+x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+1\in\varnothing\\x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=0\)

a) (a - 2b)x(a + 2b)
b) x²-(y-3)²
 => (x-y+3)(x+y-3)
c) (2a + b - a)(2a + b + a)
=> (a+b)(3a+b)
d) (4(x - 1))² - (5(x + y))²
⇔ (4x - 4 - 5x - 5y)(4x - 4 + 5x + 5y)
⇔ -(x + 5y + 4)(9x + 5y + -4)
e) (x + 5)²
f) (5x - 2y)²
h) (x - 5)(x² + 5x + 25)

k) (x + 5)³

Lời giải:
a. Xét tứ giác $ADHE$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.

b.

Xét tam giác vuông $BDH$ vuông tại $D$ có $DI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BH$ nên $DI=\frac{BH}{2}=IH$

$\Rightarrow DIH$ là tam giác vuông tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IDH}=\widehat{IHD}$ (1)

$ADHE$ là hình chữ nhật nên $\widehat{HDE}=\widehat{HAE}=\widehat{HAC}$ (2)

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{IDH}+\widehat{HDE}=\widehat{IHD}+\widehat{HAC}$

$\Rightarrow \widehat{IDE}=\widehat{IHD}+\widehat{HAC}$.

Mà $\widehat{IHD}=\widehat{HCA}$ (2 góc đồng vị)

$\Rightarrow \widehat{IDE}=\widehat{HCA}+\widehat{HAC}=180^0-\widehat{AHC}=180^0-90^0=90^0$

$\Rightarrow DI\perp DE$

c. Tương tự phần a ta suy ra $DE\perp EK$

Vậy $DI\perp DE, EK\perp DE$

$\Rightarrow DI\parallel EK$ và $DI, EK$ cùng vuông góc với $DE$

$\Rightarrow DIKE$ là hình thang vuông.

d.

Có: $DI=\frac{BH}{2}\Rightarrow BH=2DI=2.1=2$ (cm) 

$EK=\frac{CH}{2}\Rightarrow CH=2EK=8$ (cm)

$\Rightarrow BC=BH+CH=2+8=10$ (cm)

$S_{ABC}=AH.BC:2=6.10:2=30$ (cm²)

Hình vẽ:

Do BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

∆CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

Xét $\Delta BED$ có {��//����=��{​MI//EDME=BM​ suy ra $ID=IB$.

Xét $\Delta CED$ có {��//����=��{​NK//EDNC=ND​ suy ra $KE=KC$.

Suy ra $MI=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}ED$; $NK=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}ED$; $ED=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$.

$IK=MK-MI=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE=DE-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE$.

Vậy $MI=IK=KN$.