Ta có: \(4x^2+y^2=8+3xy\Leftrightarrow4x^2-4xy+y^2=8-xy\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2=8-xy\ge0\forall x,y\inℝ\Rightarrow xy\le8\)

\(\Rightarrow P=xy+2020\le8+2020=2028\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x=y\\xy=8\end{cases}}\Rightarrow\left(x,y\right)\in\left\{\left(2;4\right);\left(-2;-4\right)\right\}\)

a)2x(x²-3y)

=2x³-6xy

-18x³y⁴:3xy⁴

=(-18:3) (x³:x) (y⁴:y⁴)

=-6x²

\(C=\left(1-\frac{x}{x+1}\right)\div\left(\frac{x+3}{x-2}+\frac{2+x}{3-x}+\frac{x+2}{x^2-5x+6}\right)\)

ĐKXĐ : x ≠ -1 ; x ≠ 2 ; x ≠ 3 ; x ≠ 11/5

\(=\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{x}{x+1}\right)\div\left(\frac{x+3}{x-2}-\frac{x+2}{x-3}+\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{x+1}\div\left(\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}-\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{x+1}\div\left(\frac{x^2-9}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}-\frac{x^2-4}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{x+1}\div\left(\frac{x^2-9-x^2+4+x+2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{x+1}\div\frac{x-3}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\frac{1}{x+1}\times\frac{x-2}{1}\)

\(=\frac{x-2}{x+1}\)

ĐKXĐ bạn bỏ cái x ≠ 11/5 hộ mình nhé ;-;

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Ta có : \(x+y\le1\)

=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)

=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )

=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(2b+3c+2c+3a+2a+3b\right)^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left[5\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)=VP\)

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Xét tam giác ABD và tam giác FBC có:

AB=FB ( cạnh tam giác đều FAB)

DB=BC ( cạnh tam giác đều DBC)

góc ABD = góc FBC ( cùng bằng góc ABC + 60 độ)

Suy ra tam giác ABD = tam giác FBC (C.G.C)

=> FC=AD