Lời giải:

a. Khi $m=2$ thì $(d_1)$ có pt $y=2x+2^2-1=2x+3$ nên $(d_1)\equiv (d_2)$ nên tọa độ giao điểm $A$ là mọi điểm nằm trên $y=2x+3$
b. $B\in Oy$ nên $x_B=0$

$B\in (d_2)$ nên $y_B=2x_B+3=2.0+3=3$

Vậy $B$ có tọa độ $(0,3)$

$C\in Ox$ nên $y_C=0$

$C\in (d_2)$ nên $y_C=2x_C+3\Rightarrow x_C=(y_C-3):2=\frac{-3}{2}$

Vậy $C(\frac{-3}{2},0)$

$S_{OCB}=\frac{OB.OC}{2}=\frac{|y_B|.|x_C|}{2}=3.\frac{3}{2}:2=\frac{9}{4}$ (đơn vị diện tích) 

c.

PT hoành độ giao điểm của $(d_1), (d_2)$:

$mx+m^2-1=2x+3$

$\Leftrightarrow m(x-2)=4-m^2(*)$

Để $(d_1)$ và $(d_2)$ cắt nhau ở trục tung thì $x=0$ là nghiệm của pt $(*)$

$\Leftrightarrow m.(0-2)=4-m^2$

$\Leftrightarrow -2m=4-m^2$
$\Leftrightarrow m^2-2m-4=0$
$\Leftrightarrow m=1\pm \sqrt{5}$

Lời giải:

Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác là $5a$ và $6a$ (với $a>0$)

Áp dụng định lý Pitago:

$(5a)^2+(6a)^2=122^2$

$\Leftrightarrow 61a^2=14884$

$\Rightarrow a^2=244$

Độ dài hình chiếu gọi là $d$. Theo hệ thức lượng trong tam giác:

$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{(5a)^2}+\frac{1}{(6a)^2}$

$=\frac{61}{900a^2}=\frac{61}{900.244}=\frac{1}{3600}$

$\Rightarrow d^2=3600=60^2$

$\Rightarrow d=60$ (cm)

\(5x^4+10x^2+2y^6+4y^3-6=0\)

\(\Leftrightarrow5x^4+10x^2+5+2y^6+4y^3+2-7-6=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^4+2x^2+1\right)+2\left(y^6+2y^3+1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+1\right)^2+2\left(y^3+1\right)^2=13\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+1\right)^2\ge0,\forall x\inℤ\\\left(y^3+1\right)^2\ge0,\forall y\inℤ\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=1\\y^3+1=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=0\\y^3=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

\(x^2+xy-2012x-2013y-2014=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)-2013x-2013y+x-2013-1=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)-2013\left(x+y\right)+\left(x-2013\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-2013\right)+\left(x-2013\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2013\right)\left(x+y+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2013\right);\left(x+y+1\right)\in\left\{-1;1\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(2012;-2014\right);\left(2014;-2014\right)\right\}\left(x;y\inℤ\right)\)

khong biet

=2

=2

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-10\right)+1=x^2-\left(a+10\right)x+10a+1\).

Theo đề bài, ta đặt \(f\left(x\right)=\left(x-m\right)\left(x-n\right)\) với \(m,n\inℤ\). 

\(f\left(x\right)=x^2-\left(m+n\right)x+mn\)

Khi đó, ta thu được hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+n=a+10\\mn=10a+1\end{matrix}\right.\) 

Ta thấy nếu \(\left(a+10\right)^2-4\left(10a+1\right)< 0\) 

\(\Leftrightarrow\left(a-12\right)\left(a-8\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow8< a< 12\) 

thì sẽ không tồn tại \(m,n\) thỏa mãn. Vậy \(\left[{}\begin{matrix}a\le8\\a\ge12\end{matrix}\right.\)

 Khi đó \(m,n\) là nghiệm nguyên của pt \(X^2-\left(a+10\right)X+10a+1=0\)         (*)

 Pt này có \(\Delta=\left(a+10\right)^2-4\left(10a+1\right)\) \(=\left(a-10\right)^2-4\) mà (*) lại có 2 nghiệm nguyên nên \(\left(a-10\right)^2-4\) phải là số chính phương.

 Đặt \(\left(a-10\right)^2-4=k^2\) (với \(k\inℕ\))

\(\Leftrightarrow\left(a-10\right)^2-k^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(a-10-k\right)\left(a-10+k\right)=4\)

Vì \(a-10-k\le a-10+k\) nên ta xét các TH sau:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10+k=2\\a-10-k=2\end{matrix}\right.\), khi đó \(k=0\) và \(a=12\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-22x+121=\left(x-11\right)^2\) thỏa ycbt.

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=1\\a-10+k=4\end{matrix}\right.\Rightarrow2k=3\), vô lí.

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=-2\\a-10+k=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=0\\a=8\end{matrix}\right.\). 

Thử lại, ta có \(f\left(x\right)=x^2-18x+81=\left(x-9\right)^2\) thỏa ycbt.

TH4; \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=-4\\a-10+k=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow2k=3\), vô lí.

Vậy \(a\in\left\{8;12\right\}\) thỏa ycbt.

\(3x^2+3xy-17=7x-2y\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x+y\right)+2x+2y-9x-17=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x+y\right)+2\left(x+y\right)-9x-6-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(3x+2\right)-3\left(3x+2\right)=11\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(x+y-3\right)=11\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right);\left(x+y-3\right)\in\left\{-1;1;-11;11\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-7\right);\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{43}{3}\right);\left(-\dfrac{11}{3};\dfrac{17}{3}\right);\left(3;1\right)\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-7\right);\left(3;1\right)\right\}\left(x;y\inℤ\right)\)