a² + b² + 2ab + 2a + 2b + 1

= ( a² + 2ab + b² ) + ( 2a + 2b ) + 1

= ( a + b )² + 2( a + b ) + 1²

= ( a + b + 1 )²

3x( x - 2y ) - 6y( 2y - x )

= 3x( x - 2y ) + 6y( x - 2y )

= 3( x - 2y )( x + 2y )

x² + 2x - 3

= x² - x + 3x - 3

= x( x - 1 ) + 3( x - 1 )

= ( x - 1 )( x + 3 )

a) \(a^2+b^2+2ab+2a+2b+1\)

\(=\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(2a+2b\right)+1\)

\(=\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)+1\)

\(=\left(a+b+1\right)^2\)

b) \(3x\left(x-2y\right)-6y\left(2y-x\right)\)

\(=3x\left(x-2y\right)+6y\left(x-2y\right)\)

\(=3\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)\)

c) \(x^2+2x-3=x^2-x+3x-3\)

\(=\left(x^2-x\right)+\left(3x-3\right)\)

\(=x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\)

\(x^3+4x^2+8x=-5\)

\(\Leftrightarrow x^3+4x^2+8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2+3x^2+3x+5x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+x^2\right)+\left(3x^2+3x\right)+\left(5x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2.\left(x+1\right)+3x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+3x+5\right)=0\)(1)

Ta có: \(x^2+3x+5=x^2+2.\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}+\frac{11}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{11}{4}\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+3x+5\ge\frac{11}{4}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x+1=0\)\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(x=-1\)

Sửa đề : ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 8abc 

Giải :

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương , ta có :

\(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\) 

Nhân vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Vì a,b,c là các số thực dương

nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế với vế

=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\left|abc\right|=8abc\)

( do a,b,c là các số thực dương )

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

=> đpcm

\(x^2-4xy+4y^2-x+2y\)

\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)-\left(x-2y\right)\)

\(=\left(x-2y\right)^2-\left(x-2y\right)\)

\(=\left(x-2y\right)\left(x-2y-1\right)\)

\(=\left(x-2y\right)^2-\left(x-2y\right)=\left(x-2y-1\right)\left(x-2y\right)\)

\(x^2-2x+y^2+4y+6\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\), \(\left(y+2\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1\ge1\forall x,y\)

hay \(x^2-2x+y^2+4y+6\)luôn không âm với mọi x, y ( đpcm )

\(x^2-2x+y^2+4y+6\)    

\(=x^2-2x+1+y^2+4y+4+1\)   

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\)    

Có \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\)    

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\)   luôn không âm với mọi x y ( đpcm ) 

\(\left(x-2y\right).\left(x^2+2xy+4y^2\right)+x^3+5\)

\(=x^3-\left(2y\right)^3+x^3+5\)

\(=2x^3-8y^3+5\)

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến

làm sai rùi kìa muốn c/m gt của BT k phụ thuộc vào biến thì phải làm cho các biến đấy k còn nữa chứ còn bn làm đs thì vẫn còn 2 biến x và y

Góp ý kiến tí  \(\left(x^2-2x+2\right)\)thành \(x^2-2x+4\)thì sẽ dễ tính hơn với \(x^2+2x+2\)cũng vậy.

\(\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2-2\right)\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2+2\right)\)

Thay x = -1 ta được : 

\(\left(1^2-2.1+2\right)\left(1^2-2\right)\left(1^2+2.1+2\right)\left(1^2+2\right)\)

\(=1.\left(-1\right).5.3=-15\)

\(\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2-2\right)\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2+2\right)\)

\(=\left[\left(x^2-2\right)\left(x^2+2\right)\right]\left\{\left[\left(x^2+2\right)-2x\right]\left[\left(x^2+2\right)+2x\right]\right\}\)

\(=\left(x^4-4\right)\left[\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2\right]\)

\(=\left(x^4-4\right)\left(x^4+4x^2+4-4x^2\right)\)

\(=\left(x^4-4\right)\left(x^4+4\right)\)

\(=x^8-16\)

Tại x = -1 => Giá trị biểu thức = (-1)⁸ - 16 = 1 - 16 = -15