\(A=xy.\left(x^2+y^2\right)=xy.\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4xy-2\left(xy\right)^2\)

Đặt\(xy=a\)

\(A=4a-2a^2=2-\left(2a^2-4a+2\right)=2-2.\left(a^2-2a+1\right)=2-2.\left(a-1\right)^2\le2\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a-1=0\Rightarrow a=1\)

Hay \(xy=1\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{y}\)

Thay vào x+y=2 ta được

\(\frac{1}{y}+y=2\)

\(1+y^2-2y=0\)

\(y=1\)\(x=1\)

Vậy max A=2 khi x=y=1

\(A=x\cdot\left(2-x\right)\left[x^2+\left(2-x\right)^2\right]\)

\(=-2\left(x-1\right)^4+2\le2\)

Ta có: (10a + 5)² = (10a)² + 2 .10a . 5 + 5²

                          = 100a² + 100a + 25

                          = 100a(a + 1) + 25.

Cách tính nhẩm bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;

Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được

(10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25

Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.

Áp dụng:

- Để tính 25² ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.

- Để tính 35² ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.

65² = 4225

75² = 5625

\(B=...=\frac{\left(3-1\right)\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)}{2}=\frac{\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)}{2}=\frac{\left(3^8-1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)}{2}=\frac{\left(3^{16}-1\right)\left(3^{16}+1\right)}{2}=\frac{3^{32}-1}{2}< 3^{32}-1=A\)

Ta có : \(B=\left(3+1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right).\left(3^8+1\right)+\left(3^{16}+1\right)\)

       \(\Rightarrow\) \(2B=2.\left(3+1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right).\left(3^8+1\right).\left(3^{16}+1\right)\)

                      \(=\left(3-1\right).\left(3+1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right).\left(3^8+1\right).\left(3^{16}+1\right)\)

                       \(=\left(3^2-1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right).\left(3^8+1\right).\left(3^{16}+1\right)\)

                        \(=\left(3^4-1\right).\left(3^4+1\right).\left(3^8+1\right).\left(3^{16}+1\right)\)

                        \(=\left(3^8-1\right).\left(3^8+1\right).\left(3^{16}+1\right)\)

                         \(=\left(3^{16}-1\right).\left(3^{16}+1\right)\)

                           \(=3^{32}-1\)

\(\Rightarrow\) \(B=\frac{3^{32}-1}{2}< 3^{32}-1\)

\(\Rightarrow\) \(B< A\)

\(C=x^2-2x+y^2-4y+7\)

\(C=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+2\)

\(C=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}}\)

Vậy GTNN của \(C\) là \(2\) khi \(x=1\) và \(y=2\)

Chúc bạn học tốt ~ 

\(\left(x^2+x+1\right).\left(x^2+x+2\right)-12=0.\)(1)

Đặt  \(t=x^2+x+1\left(t>0\right)\)

Khi đó :

(1) \(\Leftrightarrow t.\left(t+1\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-12=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+t=12\)

\(\Leftrightarrow t=3\)

Khi \(t=3\Leftrightarrow x^2+x+1=3\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)