A = 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + ... - 2020² + 2021²

= ( 2021² - 2020² ) + ... + ( 5² - 4² ) + ( 3² - 2² ) + 1²

= ( 2021 - 2020 )( 2021 + 2020 ) + ... + ( 5 - 4 )( 5 + 4 ) + ( 3 - 2 )( 3 + 2 ) + 1

= 4041 + ... + 9 + 5 + 1

= \(\frac{\left(4041+1\right)\left[\left(4041-1\right)\div4+1\right]}{2}\)

= 2 043 231

\(A=1+\left(-2^2+3^2\right)+...+\left(-2020^2+2021^2\right)\)

\(\Leftrightarrow A=1+\left(3-2\right).\left(3+2\right)+...\left(2021-2020\right).\left(2021+2020\right)\)

\(\Leftrightarrow A=1+5+9+13+..+4041\)

\(\Leftrightarrow A=1+\left(1+4.1\right)+\left(1+4.2\right)+...+\left(1+4.1010\right)\)

\(\Leftrightarrow A=1010+4\left(1+2+3+..+1010\right)\)

\(\Leftrightarrow A=1010+\frac{4.1010.1011}{2}=1010+1010.2022=1010.2023\)

x² - 2xy + 6y² - 8x - 12y + 36 = 0

⇔ ( x² - 2xy + y² - 8x + 8y + 16 ) + ( 5y² - 20y + 20 ) = 0

⇔ [ ( x² - 2xy + y² ) - ( 8x - 8y ) + 16 ] + 5( y² - 4y + 4 ) = 0

⇔ [ ( x - y )² - 2.( x - y ).4 + 4² ] + 5( y - 2 )² = 0

⇔ ( x - y - 4 )² + 5( y - 2 )² = 0

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x-y-4\right)^2\ge0\forall x,y\\5\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(x-y-4\right)^2+5\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ \(\hept{\begin{cases}x-y-4=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}}\)

Vậy x = 6 ; y = 2

Định lí Bézoute : Số dư trong phép chia đa thức f(x)c cho nhị thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a)

f(x) : g(x) = ( x⁴ - 19x³ + 25x² - 6x + k ) : ( x - 3 )

=> f(x) = x⁴ - 19x³ + 25x² - 6x + k 

     g(x) = x - 3

g(x) là một nhị thức, và có a = 3

Áp dụng định lí Bézoute ta có :

Số dư trong phép chia f(x) = x⁴ - 19x³ + 25x² - 6x + k cho nhị thức g(x) = x - 3 có a = 3 là :

f(3) = 3⁴ - 19.3³ + 25.3² - 6.3 + k

       = k - 225

Để f(x) chia hết cho g(x) thì số dư phải bằng 0

tức k - 225 = 0 => k = 225

Vậy k = 225

\(Q\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-2x\left(3x-2\right)\)

             \(=x^2-4x+4-6x^2+4x\)

             \(=-5x^2+4\)

Thay x = -1 vào Q(x) ta có :

\(Q\left(-1\right)=-5.\left(-1\right)^2+4=-5.1+4=-5+4=-1\)

Vậy tại x = -1 thì Q(x) = -1

\(x\left(x+1\right)-x\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow x^2+x-x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow-2x=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy x=0 

\(x\left(x+1\right)-x\left(x+3\right)=0\)   

\(x\left[\left(x+1\right)-\left(x+3\right)\right]=0\)   

\(x\left(x+1-x-3\right)=0\)   

\(x\cdot\left(-2\right)=0\)   

\(x=0:\left(-2\right)\)   

\(x=0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Chứng minh hoàn tất !

Đẳng thức xảy ra <=> a = b > 0