Với mọi x;y dương ta có:

\(x^2+xy+y^2=\dfrac{3}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x-y\right)^2\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

Áp dụng:

\(P\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(c+a\right)^2}\)

\(P\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)\)

\(P\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)

\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(4x^2-25+\left(2x+5\right)^2=0\\ < =>\left[\left(2x\right)^2-5^2\right]+\left(2x+5\right)^2=0\\ < =>\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)+\left(2x+5\right)^2=0\\ < =>\left(2x+5\right)\left(2x-5+2x+5\right)=0\\ < =>4x\left(2x+5\right)=0\\ < =>\left[{}\begin{matrix}4x=0\\2x+5=0\end{matrix}\right.\\ < =>\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x=-5\end{matrix}\right.\\ < =>\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy: ... 

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)AB

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)AC

Xét ΔABC có

CD,BE là các đường cao

CD cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC

\(x^2\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=0\)

=>\(\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)=0\)

mà \(x^2+3>=3>0\forall x\)

nên x-2=0

=>x=2

a: Xét ΔMNQ có

NE,MF là các đường cao

NE cắt MF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔMNQ

=>QH\(\perp\)MN tại D

Xét `ΔMQN` có: 

Đường cao `NE` và `MF` cắt nhau tại H

`=> H` là trực tâm của `ΔMQN`

`=> QD` là đường cao của `ΔMQN` (đi qua H)

`=> QH  MN` tại `D`

Xét `ΔABC` có: `AB + AC > BC`

`=> R_((B)) + R((C)) > BC`

`=> (B)` cắt `(C)` (đpcm)

Gọi số tự nhiên bé hơn là `x `

Điều kiện: `x ∈ N`

=> Số tự nhiên lớn hơn là: `x + 1`

Do hiệu các bình phương của bằng `39`

`=> (x+1)^2 - x^2 = 39`

`=> x^2 + 2x + 1 - x^2 = 39`

`=> 2x = 38`

`=> x = 38 : 2`

`=> x = 19`

Vậy số tự nhiên bé hơn là `19`, số tự nhiên lớn hơn là `19+ 1 = 20`

a) Ta có:

`m^2>=0` với mọi m 

`=>m^2+1/2>=1/2>0` với mọi m 

`=>` Bất pt: `(m^2+1/2)x-1<=0` có hệ số `a≠0` 

`=>`Bất pt luôn là bất pt bậc nhất 1 ẩn với mọi m 

b) Ta có:

`m^2+m+2=(m^2+2*m*1/2+1/4)+7/4` 

`=(m+1/2)^2+7/4>=7/4>=0` với mọi m

`=>-(m^2+m+2)<=-7/2<0` với mọi m

`=>-(m^2+m+2)≠0` với mọi m 

=> Bất pt `-(m^2+m+2)x<=-m+2024` luôn là bpt bậc nhất 1 ẩn 

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=7\\P=x_1x_2=10\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet đảo, \(x_1;x_2\) là nghiệm:

\(x^2-7x+10=0\)

Trình bày tương tự câu a ta có:

b.

\(x^2-2x-35=0\)

c.

\(x^2+13x+36=0\)

a/

Gọi x là số phút gọi thỏa mãn đề bài

\(32+\left(x-45\right).0,4=44+0,25x\)

\(\Leftrightarrow32+0,4x-18=44+0,25x\)

\(\Leftrightarrow0,15x=30\Rightarrow x=200\)

b/

+Nếu KH gọi 180 phút trong 1 tháng thì

Số tiền cho gói cước A là \(32+\left(180-45\right).0,4=86\) USD

Số tiền cho gói cước B là \(44+180.0,25=89\) USD

Trong trường hợp này chọn gói cước A có lợi hơn

+ Trường hợp KH gọi 500 phút thì

Số tiền cho gói cước A: \(32+\left(500-45\right).0,4=214\) USD

Số tiền cho gói cước B: \(44+500.0,25=169\) USD

Trong trường hợp này chọn gói cước B có lợi hơn