gọi E là giao điểm của AC và PB, F là giao của AB cà PC

qua P kẻ đường thằng d song song với BC, giả sử E', F' lần lượt là giao của AC, AB với d

ta có: \(\frac{BM}{PF'}=\frac{CM}{PE'}\left(=\frac{AM}{PA}\right)\), mà BM=CM => PE'=PF'

do đó: \(\frac{PE}{EB}=\frac{PE'}{BC}=\frac{PF'}{BC}=\frac{PF}{BC}\Rightarrow EF//BC\Rightarrow\frac{EA}{AC}=\frac{FA}{AB}\)

gọi I là giao của HQ và AB, K là giao của HR và AC

áp dụng định lý Talet, ta có:

\(\frac{QI}{IH}=\frac{EA}{AC}=\frac{FA}{AB}=\frac{RK}{KH}\), do đó IK//QR (1)

^MAC=^AIK nên PM _|_ IK

Từ (1) => PM _|_ QR hay PA _|_ QR

Gọi S là giao của RA và PB

\(\frac{HI}{HK}=\frac{HQ}{HR}=\frac{HB}{HA}\Rightarrow\frac{HB}{HQ}=\frac{HA}{HR},\widehat{BHQ}=\widehat{AHR}\)

có tam giác BHQ đồng dạng với AHE => \(\widehat{QBH}=\widehat{RAH}\)

=> tứ giác BHAS nội tiếp

vậy ^ASB =90^o hay SR _|_ PQ 

=> A là trực tâm tam giác PQR

Ta có : 

\(\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}-\frac{5}{a+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{2-\sqrt{a}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}-\frac{5}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}\)

\(-\frac{\sqrt{a}+3}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)-5-\left(\sqrt{a}+3\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}\)

\(=\frac{a-2^2-5-\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}\)

\(=\frac{a-\sqrt{a}-12}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-4\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2}\)

Ta có : 

\(\sqrt{6-2\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}\)

\(=\sqrt{6-2\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}\)

Ta có : 

\(18-\sqrt{128}=18-8\sqrt{2}=16-2.4.\sqrt{2}+2=\left(4-\sqrt{2}\right)^2\)

Vậy 

\(\sqrt{18-\sqrt{128}}=4-\sqrt{2}\)

Thay vào ta có

\(\sqrt{6-2\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}\)

\(=\sqrt{6-2\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+4-\sqrt{2}}}\)

\(=\sqrt{6-2\sqrt{4+2\sqrt{3}}}\)

Lại có : 

\(4+2\sqrt{3}=3+2.1.\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)

Do đó : 

\(\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}=\sqrt{3}+1\)

Vậy : 

\(\sqrt{6-2\sqrt{4+2\sqrt{3}}}=\sqrt{6-2\left(\sqrt{3}+1\right)}\)

\(=\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{3-2.1.\sqrt{3}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{3}-1\)

Vậy : \(\sqrt{6-2\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}=\sqrt{3}-1\)

Đặt \(\sqrt{2-x}=a\)

Ta có:

\(A=\left(x+1\right)\sqrt{2-x}\)

\(=\left(3-t^2\right)t=3t-t^3\)

Đến đây đạo hàm thử xem ?

\(5+2\sqrt{3}=5+2\sqrt{3}\)

cậu thử tính máy tính

!!!~~~~~~~

à quên, đề là phân tích đa thức thành nhân tử