1. A = x² + 2y² + 2xy - 4y - 3

= ( x² + 2xy + y² ) + ( y² - 4y + 4 ) - 7

= ( x + y )² + ( y - 2 )² - 7

Vì ( x + y )²\(\ge\)0\(\forall\)x;y ; ( y - 2 )²\(\ge\)0\(\forall\)y

=> A = ( x + y )² + ( y - 2 )² - 7 \(\ge\)- 7

Dấu "=" xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}}\)

Vậy minA = - 7 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}}\)

2. B = 3x² + 4y² + 4xy - 4x - 2

= ( x² + 4xy + 4y² ) + ( 2x² - 4x + 2 ) - 4

= ( x + 2y )² + 2 ( x - 1 )² - 4\(\ge\)- 4

Dấu "=" xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}\left(x+2y\right)^2=0\\2\left(x-1\right)^2=0\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}y=-\frac{x}{2}\\x=1\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}y=-\frac{1}{2}\\x=1\end{cases}}\)

Vậy minB = - 4 <=> \(\orbr{\begin{cases}y=-\frac{1}{2}\\x=1\end{cases}}\)

C = 4x² + 2y² - 4xy - 6y + 5

= ( 4x² - 4xy + y² ) + ( y² - 6y + 9 ) - 4

= ( 2x - y )² + ( y - 3 )² - 4\(\ge\)- 4

Dấu "=" xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}\left(2x-y\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=0\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{y}{2}\\y=3\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=3\end{cases}}\)

Vậy minC = - 4 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=3\end{cases}}\)

theo a, vì tứ giác AHCK là hbh => AK//CH hay AM//CN 

Mà AD// BC hay AN//CM

=>tứ giác AMCN là hbh

=> AN=CM

                                       

a) Xét \(\Delta QPM\)có :

\(QI=IP\left(gt\right)\)

\(IK//QM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow MK=KP\)

Xét \(\Delta PQM\)có ;

\(QI=IP\left(gt\right)\)

\(HI//QM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow QH=HM\)

Xét \(\Delta QMP\)có :

\(MK=KP\left(cmt\right)\)

\(QH=HM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\)HK là đường trung bình của \(\Delta QMP\)

\(\Rightarrow HK//QP\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác KHQP là hình thang

b) Ta có : \(IH//MP\left(gt\right)\)

mà \(MP\perp MQ\)( \(\Delta MPQ\)vuông tại M )

\(\Rightarrow IH\perp MQ\)

\(\Rightarrow\widehat{MHI}=90^o\)

Ta có : \(IK//QM\left(gt\right)\)

mà \(QM\perp MP\)( \(\Delta MPQ\)vuông tại M )

\(\Rightarrow IK\perp MP\)

\(\Rightarrow\widehat{IKM}=90^o\)

Tứ giác MKIH có : \(\widehat{HMK}=90^o;\widehat{MHI}=90^o;\widehat{IKM}=90^o\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác MKIH là hình chữ nhật

c) Ta có : tứ giác MKIH là hình chữ nhật (cmt)

\(\Rightarrow\)2 đường chéo HK và MI cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của MI (gt)

\(\Rightarrow\)O là trung điểm của HK

\(\Rightarrow\)K đối xứng với H qua O

d) Ta có : HK là đường trung bình của \(\Delta QMP\)(cmt)

\(\Rightarrow HK=\frac{1}{2}QP\left(1\right)\)

mà \(QI=\frac{1}{2}QP\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow HK=QI\)

mà O là trung điểm của HK (cmt)

và D là trung điểm của QI (gt)

\(\Rightarrow HO=DI\)

mà \(HO//DI\)( do HK // QP )

\(\Rightarrow\)Tứ giác OIDH là hình bình hành (3)

Ta có : O là trung điểm của HK

             O là trung điểm của MI

       mà HK = MI ( do MKIH là hình chữ nhật )

\(\Rightarrow\)HO = OI (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\)Tứ giác OIDH là hình thoi

tự kẻ hình nha

a) trong tam giác PMQ có KI//MQ( cùng vuông góc với KM), PI=IQ=> KI là đtb=> PK=KM

tương tự ta có MH=HQ

trong tam giác PMQ có MH=HQ, PK=KM=> KH là đtb=> KH//PQ=> KHQP là hình thang

b) trong tứ giác KMHI có IKM=KMH=MHI=90 độ=> KMHI là hcn

c) vì KMHI là hcn=> KH=MI và KH giao MI tại trung điểm mỗi đường mà O là trung điểm của MI=> I là trung điểm KH => K đối xứng H qua O

d) vì KH=MI(cmt) và O là trung điểm mỗi đường=> KO=IO=HO=MO(1)

tam giác PMQ vuông tại M, PI=IQ=> MI=IP=IQ=PQ/2( tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)(2)

tương tự ta có HD=ID=DQ=IQ/2 (3)

MI=IQ=> MI/2=IQ/2=> MO=OI=ID=DQ(4)

từ (1);(2);(3);(4)=> OI=OH=HD=DI=> OIDH là hình thoi