\(\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+5\right)\)

\(=\left(2x+1\right)\left[\left(2x\right)^2-2x.1+1-4\right]\)

\(=8x^3+1-4\left(2x+1\right)\)

\(=8x^3+1-8x-4=8x^3-8x-3\)

Ta có : 

\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ba}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow P=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)( 1 )

Biến đổi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)ta được :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}+\frac{1}{b^3}=\frac{-1}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{c^3}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{-1}{c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)( 2 )

Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được

\(P=abc.\frac{3}{abc}=3\)

2x 3 -2bx-24 x+4x+3 2 2x - 2x + 8x 3 2 +6x -8x 2 -8b -24 -8 - -8x-32x -24 2 -8b + 32x

Bài dưới lỗi kĩ thuật => sửa :'(

x + 4x + 3 3 2 - 2x + 8x + 6x 2x - 2bx - 24 3 2 -8x - 8b - 24 - -8x - 32x - 24 -8b + 32x 2x - 8 2 2

Vậy ( 2x³ - 2bx - 24):( x² + 4x + 3) = 2x - 8 ( dư -8b + 32x )

Đây là bất đẳng thức Cauchy Schwarz và CM bằng cách biến đổi tương đương như sau:

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y

\(=x^2-4x+4-x^2-6x-9-4x-4\)

\(=-14x-9\)

\(A=x-x^2\)

\(\Leftrightarrow A=-\left(x^2+x\right)\)

\(\Leftrightarrow A=-\left(x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Vậy max A = 1/4 \(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

A = x - x²

= -x² + x - 1/4 + 1/4

= -( x² - x + 1/4 ) + 1/4

= -( x - 1/2 )² + 1/4 ≤ 1/4 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 1/2

=> MaxA = 1/4 <=> x = 1/2

Ta chia (m+5x^2-3x^3-9) cho (5-3x)        "NHỚ SẮP XẾP TRC KHI CHIA"

Kết quả có m-.....hay...-m luôn = 0

Mình chỉ bày phương pháp thôi nhá!!!!

\(5x^2-3x^3-9x+m=x^2\left(5-3x\right)-3\left(\frac{m}{3}-3x\right)\text{ nên }\frac{m}{3}=5\Rightarrow m=15\)