\(\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\)

= \(\frac{1}{x^2+y^2+y^2+1+2}+\frac{1}{y^2+z^2+z^2+1+2}+\frac{1}{z^2+x^2+x^2+1+2}\)

\(\le\frac{1}{2xy+2y+2}+\frac{1}{2yz+2z+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}\)

= \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)

= \(\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{xyzx+yzx+zx}+\frac{x}{yzx+zx+x}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)

= \(\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{x+1+zx}+\frac{x}{1+zx+x}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)

= 1/2

Dấu "=" xảy ra <=> x = y =z =1 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2xy+2y+2}}\)

Tương tự ta cũng có

\(\frac{1}{y^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2yz+2z+2};\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2xz+2x+2}\)

Do đó ta có:\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)

Mặt khác, do xyz=1 nên ta có:

\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{y}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy+y+1}\)

\(=\frac{xy+y+1}{xy+y+1}=1\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Đặt \(a=\frac{1}{x-1}\left(x\ne1\right);\frac{1}{y+1}=b\left(y\ne-1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+b=7\\5a-2b=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=\frac{1}{2}\\y+1=\frac{1}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1,5\\y=\frac{-2}{3}\end{cases}}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta được \(2\sqrt{bc}\le b+c\)=> \(\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}\ge\frac{2a^2}{2a+b+c}\)

Áp dụng BĐT tương tự ta được đẳng thức

\(\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\ge\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2b^2}{2b+c+a}+\frac{2c^2}{2c+a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta lại có

\(\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2a+b+c}{8}\ge a;\frac{2b^2}{2b+a+c}+\frac{2b+a+c}{8}\ge b;\frac{2c^2}{2c+a+b}+\frac{2c+a+b}{8}\ge c\)

Cộng theo vế ta được

\(\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2b^2}{2b+a+c}+\frac{2c^2}{2c+a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Vậy Min_P=\(\frac{3}{2}\)

phần áp dụng BĐT lần 2 mình chưa hiều lắm

À mà hình như sai cmn hướng thật r :< phiền các pro vậy ạ :<

Ta có: \(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2}{3}=3\)

=> \(3abc\ge3\)=> \(abc\ge1\) ( 1) 

Lại có: \(a^4+b^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4}=4\left|abc\right|=4abc\)

=> \(3abc+1\ge4abc\Rightarrow abc\le1\)(2) 

Từ (1); (2) => abc = 1 

khi đó a = b = c = 1 

=> P = 1^2019 + 1 ^2019 + 1^2019 = 3

\(\frac{4x}{4x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1\)

\(\Leftrightarrow4x\left(4x^2-10x+7\right)+3x\left(4x^2-8x+7\right)=\left(4x^2-8x+7\right)\left(4x^2-10x+7\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=5\end{cases}}\)

Bài 1 : 

Gọi x là bán kính quạt, y là độ dài cung tròn

Ta có chu vi quạt là 2x+y=80

Ta có công thức tính diện tích hình quạt:

\(S=\frac{\pi x^2\alpha}{360}\) và độ dài cung tròn:\(y=\frac{2\pi x\alpha}{360}\)

Ta có: \(\frac{2\pi xa}{360}+2x=80\)

\(\Leftrightarrow\alpha=\frac{14400-360x}{2\pi x}\)

\(\Rightarrow S=\frac{\pi x^2a}{360}=\frac{\pi.x^2.\frac{14400-360x}{2\pi x}}{360}\) 

\(=\frac{\left(40-x\right)x}{2}=\frac{-x^2+40x}{2}=\frac{-\left(x^2-40x+400\right)}{2}+200\)

\(=\frac{-\left(x-20\right)^2}{2}+200\)

Vì \(\frac{-\left(x-20\right)^2}{2}\le0\forall x\)

=> \(S\le200\forall x\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=20

\(\Rightarrow\alpha=\frac{180}{\pi}\)