a) \(\widehat{BDA}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>\(\widehat{BDM}=90^o;\widehat{MCB}=90^o\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BDM}+\widehat{MCB}=90^o+90^o=180^o\)

=> tứ giác BCMD nội tiếp (tứ giác có 2 góc đối bằng 180^o)

b) \(\sin\widehat{BAD}=\frac{BD}{AB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}=\sin30^o\Rightarrow\widehat{BAD}=30^o\)

\(AD=AB.\cos\widehat{BAD}=2R.\cos30^o=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\)

Xét \(\Delta\)CMA có: \(\widehat{C}=90^o\), AC=AB+CB=3R có AC=MAcosA

=> \(MA=\frac{AC}{\cos30^o}=\frac{3R}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}R\)

=> MD=MA-AD=\(2\sqrt{3}R-\sqrt{3}R=\sqrt{3}R\)

=> AD=MD=\(R\sqrt{3}\)=> D là trung điểm MA

=> \(\Delta\)MBA cân tại B (vì BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến)

c) MA.AD=\(\left(2\sqrt{3}R\right)\cdot R\sqrt{3}=6R^2\)

\(\sqrt[3]{\overline{xyz}}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\overline{xyz}=\left(x+y+z\right)^3\)

Đặt \(m=x+y+z\Rightarrow m\equiv\overline{xyz}\left(mod9\right)\)

\(\Rightarrow\overline{xyz}-m⋮9\)

Đặt \(\overline{xyz}-m=9k\left(k\inℕ\right)\)

\(\Leftrightarrow m^3-m=9k\Leftrightarrow\left(m-1\right)m\left(m+1\right)=9k\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)m\left(m+1\right)⋮9\)

Nhận xét:trong 3 số tự nhiên liên tiếp tồn tại duy nhất 1 số chia hết cho 3 mà tích chúng chia hết cho 9 nên tồn tại duy nhất 1 số chia hết cho 9

Mặt khác \(100\le\overline{xyz}\le999\Rightarrow100\le m^3\le999\)

\(\Leftrightarrow4\le m\le9\Rightarrow3\le m-1\le8;5\le m+1\le10\)

Nếu \(m⋮9\Rightarrow m=9\Rightarrow\overline{xyz}=9^3=729\)

Thử lại ta thấy không thỏa mãn,loại

Nếu \(m-1⋮9\left(KTM\right)\)

Nếu \(m+1⋮9\Rightarrow m+1=9\Rightarrow m=8\Rightarrow\overline{xyz}=8^3=512\)

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy số đó là 512

vì a,b dương nên BĐT đã cho tương đương với :

\(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}+4\left(\frac{4}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b^2}+\frac{b-a}{a^2}+4.\frac{4ab-\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{a^2b^2}-\frac{4\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2-4ab\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^4\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra khi a = b

a ) Ta có : \(BD\perp AC,CE\perp AB\)

\(\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0,\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\)

\(\Rightarrow ADHE,BEDC\) nội tiếp

b . Ta có : \(\widehat{DHC}=\widehat{EHB},\widehat{HDC}=\widehat{HEB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta HDC~\Delta HEB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HD}{HE}=\frac{HC}{HB}\Rightarrow HD.HB=HE.HC\)

c . Vì H là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow AH\perp BC=F\)

Lại có : \(\widehat{AHD}=\widehat{CBF}\left(+\widehat{FAC}=90^0\right)\)

\(\widehat{AID}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{AHD}\)

\(\Rightarrow\Delta AHI\) cân tại A 

Mà \(AD\perp HI\Rightarrow AD\) là trung trực của HI \(\Rightarrow\)AC là đường trung trực của của HI.

d ) Từ câu c \(\Rightarrow AI=AH\)

Tương tự \(\Rightarrow AK=AH\Rightarrow A\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HIK\)

a.Vì  DC,DA là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow DC=DA\)

Tương tự \(EC=EB\Rightarrow DE=DC+CE=AD+BE\)

Mà EC,EB là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow EC\perp OC,EB\perp OC\)

=> C,O,B,E cùng thuộc một đường tròn đường kính OE

b ) Ta có : EB,EC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow EO\perp CB=L\)

Mà VL là đường kính của (O)

\(\Rightarrow LK.LV=CL^2=LO.LE\)

c.Ta có :

\(\widehat{VCL}=\widehat{CBV}=\widehat{ECV}\) vì EC là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow CV\) là phân giác \(\widehat{ECL}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{CL}{CE}\)

Lại có : \(\Delta CLE~\Delta OCE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{CL}{CE}=\frac{OC}{OE}\)

Lại có : \(OC^2=OL.OE\Rightarrow\frac{OC}{OE}=\frac{OL}{OC}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{OC}{OE}=\frac{OL}{OC}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{OL}{R}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{2VL}{KV}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{2VL}{2R}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{VL}{R}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL+VL}{R}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{R}{R}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{VL}-\frac{1}{VE}=\frac{2}{KV}\)

Ta có M = \(\frac{2}{1+\sqrt{a}}\le2\)

Mà để 18M là số chính phương thì M = 2 

=> \(\frac{2}{1+\sqrt{a}}\)=2

=> 1 + \(\sqrt{a}\)=1

<=> \(\sqrt{a}=0\Rightarrow a=0\)( thỏa mãn đk) 

Vậy a = 0 

\(18M=\frac{36}{1+\sqrt{a}}\)do 36 là số chính phương nên 18M là số chính phương thì 1+\(\sqrt{a}\inƯ\left(36\right)\)chính phương

=> \(1+\sqrt{a}\in\left\{1;4;9;36\right\}\)

\(\Rightarrow a=\left\{9;64;1225\right\}\)với \(a>0;a\ne1\)

Bài 1 : 

Ta có : 

\(x^7+\frac{1}{x^7}=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)=a\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2.x.\frac{1}{x}=a^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2\)

\(x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\)

               \(=a\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)=a\left(a^2-3\right)\)

\(x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2.x^2.\frac{1}{x^2}\)

                   \(=\left(a^2-2\right)^2-2=a^4-4a^2+4-2\)

                                                               \(=a^4-4a^2+2\)

\(\Rightarrow x^7+\frac{1}{x^7}=a.\left(a^2-3\right).\left(a^4-4a^2+2\right)-a\)

                      \(=\left(a^3-3a\right)\left(a^4-4a^2+2\right)-a\)

                         \(=a^7-4a^5+2a^3-3a^5+12a^3-6a-a\)

                          \(=a^7-7a^5+14a^3-7a\)

Bài 2 : 

Ta có : 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=2^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{z^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) vì \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2,\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x=y=-z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{-z}+\frac{1}{-z}+\frac{1}{z}=2\Rightarrow-\frac{1}{z}=2\Rightarrow z=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x+2y+z=\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow P=1\)