Cm \(3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)\ge abc\left(a+b+c\right)^3\)

Do 2 vế BĐT đồng bậc nên ta chuẩn hóa \(a+b+c=3\)

BĐT <=> \(3\left[abc\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\right)+a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\right]\ge27abc\)

<=>\(3\left[abc\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2\right)\right]\ge27abc\)

Áp dụng BĐT Schur ta có:

\(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2\ge ab^2c\left(ab+bc\right)+a^2bc\left(ab+ac\right)+abc^2\left(ac+bc\right)\)

Khi đó BĐT 

<=>\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)+3a^2\left(b+c\right)+3b^2\left(a+c\right)+3c^2\left(a+b\right)\ge27\)

<=> \(3\left(a^3+b^3+c^3\right)+3a^2\left(3-a\right)+3b^2\left(3-b\right)+3c^2\left(3-c\right)\ge27\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge3\) luôn đúng do \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)( ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài 2 

Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

=> \(VT\ge\frac{|a+1-b|+|b+1-c|+|c+1-a|}{\sqrt{2}}\)

Áp dụng BĐT \(|x|+|y|+|z|\ge|x+y+z|\)

=> \(VT\ge\frac{|a+1-b+b+1-c+c+1-a|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

C A B M O H

hình hơi chênh lệch, bạn thông cảm vì mình vẽ phần mềm hình olm gà lắm

Xét \(\Delta AMC\)và \(\Delta BCM\)có :

\(\widehat{M}\)( chung ) ; \(\widehat{ACM}=\widehat{CBM}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMC~\Delta CMB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{MC}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow MC^2=MA.MB\)

\(\Rightarrow MB=\frac{MC^2}{MA}=4a\)

Ta có : \(AB=MB-AM=4a-a=3a\)

Xét \(\Delta OCM\)có \(OC\perp CM\) :

\(\Rightarrow S_{OCM}=\frac{1}{2}OC.MC=\frac{1}{2}CH.OM\)

\(\Rightarrow CH=\frac{OC.MC}{OM}=\frac{\frac{AB}{2}.MC}{\frac{AB}{2}+AM}=\frac{6}{5}a\)

Chu vi của bánh xe là: 

70 x 3,14 = 219,8 (cm) 

Khoảng cách từ nhà AN đến trường là: 

984 x 219,8 = 216283,2 cm

Đáp số:...

có mt bỏ túi ko mk chỉ cho0

ko bảo C và D ở đâu sao vẽ các câu sau

A C B O M N P D

Vì NP là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow PM\perp ON\Rightarrow\widehat{ONP}=90^0\)

Mà \(\widehat{OMP}=90^0\Rightarrow\widehat{OMP}=\widehat{ONP}\)

\(\Rightarrow\) ◊OMNP nội tiếp(1)

\(\Rightarrow O,M,N,P\) cùng thuộc một đường tròn

Do CD là đường kính của (O) \(\Rightarrow DN\perp CN\Rightarrow\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^0\)

\(\Rightarrow\text{◊ }\)OMND nội tiếp 

\(\Rightarrow O,M,N,D\)cùng thuộc một đường tròn (2)

\(\Rightarrow\widehat{MPD}=180^0-\widehat{DOM}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow MP\perp DP\Rightarrow OD//MP\)

\(\Rightarrow OMPD\) là hình bình hành 

\(\Rightarrow OD=MP\Rightarrow MP=R\)

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm. Ta thấy x=−3 là nghiệm của phương trình, vậy phải phân tích sao cho đa thức trên xuất hiện nhân tử chung x+3

Ta có : 

\(x^3-6x+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-3x^2-9x+3x+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x+3\right)-3x\left(x+3\right)+3\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x^2-3x+3\right)=0\)

Vì \(x^2-3x+3=0\) ( vô nghiệm )

\(\Leftrightarrow x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x=-3\)

Vậy phương trình trên có tập nghiệm là  \(S=\left\{-3\right\}\)

BỎ RA

BỎ RA BẠN EI

NÓI LÀ BỎ RA

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :

\(\left(a^2+2\right)\left[1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự : \(\frac{1}{b^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(a+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\) ; \(\frac{1}{c^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Cộng vế theo vế,ta có :

\(\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le\frac{3+\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(=\frac{3+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Đặt \(P=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\)

Thực hiện phép biến đổi theo biểu thức P ta được

\(Q=3-2P=\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{a^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\)

 Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(Q\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=1\)

\(\Rightarrow P\le1\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

200nl

Xét \(\Delta=m^2+8>0\) nên phương trình luôn có nghiệm

Theo Viete \(x_1+x_2=-m\left(1\right);x_1x_2=-2\)

Mà \(x_1^2=4x_2^2\Leftrightarrow x_1=2x_2\left(h\right)x_1=-2x_2\)

Bạn thay vào ( 1 ) là ra pt bậc nhất 1 ẩn,khi đó dể nè :))