Cho hình thang $A B C D$ có $\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}, A D=4 A B, C D=3 A B$. Gọi $M$ là trung điểm của $A D, E$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $B C$. Tia $B M$ cắt đường thẳng $C D$ tại $F$.
a) Chứng minh rằng $\widehat{M A E}=\widehat{M B E}$.
b) Chứng minh rằng $A B D F$ là hình bình hành.
c) Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $B F$ cắt cạnh $B C$ tại $N$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ lên $C D$. Chứng minh rằng tam giác $B N F$ cân.
d) Chứng minh rằng đường thẳng $M H$ đi qua trung điểm của $D E$.

(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD$ và $H$ là trực tâm tam giác. Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$, từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM,$ $AN$ với đường tròn $\left( I \right)$ ($M,$ $N$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $AMIN$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $\widehat{AMN}=\widehat{ADN}$ và $\widehat{AHN}=\widehat{AND}.$

c) Chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng. 

(3 điểm)

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Vẽ đường tròn tâm $C$, bán kính $C A$. Từ điểm $B$ kẻ tiếp tuyến $B M$ với đường tròn $(C ; C A)$ ( $M$ là tiếp điểm, $M$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $B C$ ).

1) Chứng minh bốn điểm $A$, $C$, $M$ và $B$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $A B$, ($N$ khác $A, N$ khác $B$). Lấy điểm $P$ thuộc tia đối của tia $M B$ sao cho $M P=A N$. Chứng minh tam giác $C P N$ là tam giác cân và đường thẳng $A M$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $N P$.