\(H=2020-x^2-3y^2+2xy-10x+14y\)

\(=2020-x^2+2xy-y^2-2y^2-10x+14y\)

\(=2020-\left(x^2-2xy+y^2\right)-2y^2-10x+14y\)

\(=1995-\left(x-y\right)^2-2.\left(x-y\right).5-25-2y^2+24y\)

\(=1959-\left[\left(x-y\right)^2+2.\left(x-y\right).5+25\right]-2\left(y^2-12y+36\right)\)

\(=1959-\left(x-y+5\right)^2-2\left(y-6\right)^2\)

Vì \(\left(y-6\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(y-6\right)^2\ge0\)

và \(\left(x-y+5\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow1959-\left(x-y+5\right)^2-2\left(y-6\right)^2\le1959\)

\(\Rightarrow H\le1959\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y+5\right)^2=0\\\left(y-6\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y+5=0\\y-6=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}}\)

Vậy GTLN : Max H = 1959 khi x = 1 ; y = 6

H = 2020 - x² - 3y² + 2xy - 10x + 14y

= -x² + 2xy - y² - 10x + 10y - 25 - 2y² + 4y - 2 + 2047

= -(x - y)² - 10(x - y) - 25 - 2(y - 1)² + 2047

= -(x - y + 5)²  - 2(y - 1)² + 2047 \(\le2047\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y+5=0\\y-1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=-5\\y=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-4\\y=1\end{cases}}\)

Vậy Max H = 2047 <=> \(x=-4;y=1\)

N, M là điểm như thế nào vậy bạn?

help me

\(a+b=c+d\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(c+d\right)^2\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2+2cd+d^2\)

mà \(a^2+b^2=c^2+d^2\)(gt) => \(2ab=2cd\Rightarrow-2ab=-2cd\Rightarrow a^2-2ab+b^2=c^2-2cd+d^2\Rightarrow\left(a-b\right)^2=\left(c-d\right)^2\)

áp dụng: \(A^2=B^2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}A=B\\A=-B\end{cases}}\)

TH1: \(\left(a-b\right)^2=\left(c-d\right)^2\Rightarrow a-b=c-d\)(1)

lại có: \(a+b=c+d\)(gt)                                             (2)

lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được \(2a=2c\Rightarrow a=c\)mà \(a+b=c+d\Rightarrow b=d\)

=> \(a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}\)(3)

làm tương tự đv TH2: \(a-b=d-c\)

=> \(a=d;b=c\)

=> \(a^{2013}+b^{2013}=d^{2013}+c^{2013}\)(4)

từ (3) và (4) => DPCM.

Bài làm

Đặt t = x + 2

G = ( t - 1 )⁴ + ( t + 1 )⁴

= t⁴- 4t³ + 6t² - 4t + 1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1

= 2t⁴ + 12t² + 2

Ta có : \(\hept{\begin{cases}2t^4\ge0\\12t^2\ge0\end{cases}}\Rightarrow2t^4+12t^2+2\ge2\forall t\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 0

=> x + 2 = 0 => x = -2

=> MinG = 2 <=> x = -2

giúp đi mà mọi người

Trên AB lấy điểm I sao cho IF//BC

Nối E với D.

Ta có:\(\Delta ABC\)cân tại A

Mà IF//BC và IF cắt AB tại I

Nên CF=BI

Áp dụng định lí Ta-lét vào \(\Delta IEF\), ta có:

\(\frac{BE}{BI}=\frac{EK}{KF}\)

Mà BE=2CF (gt); CF=BI (cmt)

Nên \(\frac{EK}{KF}=\frac{BE}{BI}=\frac{2CF}{CF}=2\)

hay \(EK=\frac{2}{3}EF\)

Xét \(\Delta ADE\), ta có;

F là trung điểm AD (D đối xứng với A qua F)

 \(EK=\frac{2}{3}EF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\)K là trọng tâm của \(\Delta ADE\)

\(\Rightarrow\)N là trung điểm AE 

Ta lại có: AN=NE (N là trung điểm AE)

\(\Rightarrow\)AN+NI=NE+NI

 AM+MN+NI=NB+BE+NP

BM+MN+NI=BI+BE (AM=BM)

BN+MN+MN+NI=BI+2BI (BE=2CF=2BI)

BI+2MN=3BI

 2MN=2BI

MN=BI

Mà BI=CF (cmt)

Nên MN=CF

\(\frac{1}{6x^2-36x+54}=\frac{1}{6\left(x^2-6x+9\right)}=\frac{1}{6\left(x-3\right)^2}\) (1)

\(\frac{1}{-2x^2+8x-6}=\frac{1}{-2\left(x-3\right)\left(x-1\right)}\)(2)

Mẫu chung: \(6\left(x-3\right)^2\left(x-1\right)\)

Nhân tử và mẫu của (1) với (x - 1), ta được \(\frac{x-1}{6\left(x-3\right)^2\left(x-1\right)}\)

Nhân tử và mẫu của (2) với -12(x - 3), ta được \(\frac{-12\left(x-3\right)}{6\left(x-3\right)^2\left(x-1\right)}=\frac{-12x+36}{6\left(x-3\right)^2\left(x-1\right)}\)

BN=OM ??

BN = DM nha bn :>

Bài làm

\(\frac{1}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}=\frac{m}{y-1}+\frac{n}{\left(y-1\right)^2}+\frac{p}{y-2}\)

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}y\ne1\\y\ne2\end{cases}}\)

MTC của VP : ( y - 1 )²( y - 2 )

<=> \(\frac{1}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}=\frac{m\left(y-1\right)\left(y-2\right)}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}+\frac{n\left(y-2\right)}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}+\frac{p\left(y-1\right)^2}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}\)

<=> \(\frac{1}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}=\frac{m\left(y^2-3y+2\right)}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}+\frac{ny-2n}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}+\frac{p\left(y^2-2y+1\right)}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}\)

<=> \(\frac{1}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}=\frac{my^2-3my+2m}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}+\frac{ny-2n}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}+\frac{py^2-2py+p}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}\)

<=> \(\frac{1}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}=\frac{my^2-3my+2m+ny-2n+py^2-2py+p}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}\)

<=> \(\frac{1}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}=\frac{\left(m+p\right)y^2+\left(-3m+n-2p\right)y+\left(2n-2n+p\right)}{\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)}\)

Khử mẫu

<=> \(\left(m+p\right)y^2+\left(-3m+n-2p\right)y+\left(2m-2n+p\right)=1\)

Đồng nhất hệ số ta có :

\(\hept{\begin{cases}m+p=0\\-3m+n-2p=0\\2m-2n+p=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=n=-1\\p=1\end{cases}}\)< mình dùng máy 580VN X để giải hệ này >

Vậy m = n = -1 ; p = 1

Bài làm

Ta có : 25n⁴ + 50n³ - n² - 2n

= 24n⁴ + n⁴ + 48n³ + 2n³ - n² - 2n

= ( 24n⁴ + 48n³ ) + ( n⁴ + 2n³ - n² - 2n )

= 24n³( n + 2 ) + n( n³ + 2n² - n - 2 )

= 24n³( n + 2 ) + n[ n²( n + 2 ) - 1( n + 2 ) ]

= 24n³( n + 2 ) + n( n + 2 )( n² - 1 )

= 24n³( n + 2 ) + ( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 )

Dễ dàng chứng minh ( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 24

Vì \(\hept{\begin{cases}\left[24n^3\left(n+2\right)\right]⋮24\\\left[\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]⋮24\end{cases}}\Rightarrow\left[24n^3\left(n+2\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]⋮24\)

hay ( 25n⁴ + 50n³ - n² - 2n ) chia hết cho 24 ( đpcm )