Vì P = 6 / -2 = -3 < 0 

=> Phương trình có hai nghiệm trái dấu 

Áp dụng định lí Viet ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1x_2=\frac{6}{-2}\\x_1+x_2=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Ta có: \(\left|x_1-x_2\right|^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(\frac{3}{2}\right)^2-4\left(\frac{6}{-2}\right)=\frac{57}{4}\)

=> \(\left|x_1-x_2\right|=\frac{\sqrt{57}}{2}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et,ta có :

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-3\\x_1x_2=-10\end{cases}}\)

Ta có : \(\frac{2x_1^2}{x_1+x_2}+2x_2=\frac{2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2}{x_1+x_2}=\frac{2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+2x_1x_2}{x_1+x_2}\)

\(=\frac{2\left[\left(-3\right)^2-2.\left(-10\right)\right]+2.\left(-10\right)}{-3}=\frac{-38}{3}\)

Theo định lí viet: \(x_1x_2=-10;x_1+x_2=-3\)

=> \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-3}{-10}=\frac{3}{10}\)

Phương trình: \(x^2+3x-10=0\)

có: \(\Delta=3^2-4\left(-10\right)=9+40=49>0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Để phương trình có nghiệm kép: \(\Delta=0\)

<=> \(\left(\sqrt{3m-1}\right)^2-\sqrt{m^2-6m+17}=0\)

<=> \(\sqrt{m^2-6m+17}=3m-1\)

<=> \(\hept{\begin{cases}m^2-6m+17=9m^2-6m+1\\3m-1\ge0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}m^2-2=0\\m\ge\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow m=\sqrt{2}\)

Vậy:...

Xét \(\Delta=\left(5m-1\right)^2-4\left(6m^2-2m\right)\)

\(=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0,\forall m\)

=> Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

1. Cho bt P= (1/√x+2 + 1/√x-2 ) . √x-2/√x với x>0, x khác 4

a) rút gọn P

b) tìm x để P>1/3

c) tìm các giá trị thực của x để Q=9/2P có giá trị nguyên

2. Cho 2 biểu thức

A= 1-√x / 1+√ x và B= ( 15-√x/ x-25 + 2/√x+5) : √x+1/√ x-5 với x lớn hơn hoặc bằng 0, x khác 25

a) tính giá trị của A khi x= 6-2√5

b) rút gọn B

c) tìm a để pt A-B=a có nghiệm

chúc bạn học tốt

Bài 1 :

\(a,P=\left(\frac{x}{x^2-36}-\frac{x-6}{x^2+6x}\right):\frac{2x-6}{x^2+6x}=\left[\frac{x}{\left(x+6\right)\left(x-6\right)}-\frac{x-6}{x\left(x+6\right)}\right]:\frac{2x-6}{x\left(x+6\right)}\)

\(=\frac{x^2-\left(x-6\right)^2}{x\left(x+6\right)\left(x-6\right)}.\frac{x\left(x+6\right)}{2x-6}=\frac{6\left(2x-6\right)}{x\left(x+6\right)\left(x-6\right)}.\frac{x\left(x+6\right)}{2x-6}\)

\(=\frac{6}{x-6}\)

\(b,\)Với \(x\ne-6;x\ne6;x\ne0;x\ne3\)  Thì

\(P=1\Rightarrow\frac{6}{X-6}=1\Rightarrow6=x-6\Rightarrow x=12\)(Thỏa mãn \(ĐKXĐ\))

\(c,\)Ta có :

\(P< 0\Rightarrow\frac{6}{X-6}< 0\Rightarrow X-6< 0\Rightarrow X< 6\)

Do :  \(x\ne-6;x\ne6;x\ne0;x\ne3\)  ,Nên với \(x< 6\)và  \(x\ne-6;x\ne0;x\ne3\)  thì \(P< 0\)

\(\sqrt{29-x}+\sqrt{x+3}=x^2-26x+177\left(1\right)\)

ĐK -3 =<x =<29

Với mọi a,b >=0 ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

Thay \(a=\sqrt{29-x};b=\sqrt{x+3}\)ta có:

\(\sqrt{29-x}+\sqrt{x+3}\le\sqrt{2\left(29-x+x+3\right)}=8\)

\(x^2-26x+177=\left(x-13\right)^2+8\ge8\)

\(\Rightarrow\sqrt{29-x}+\sqrt{x+3}\le x^2-26x+177\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{29-x}=\sqrt{x+3}\\x-13=0\end{cases}\Leftrightarrow x=13}\)

Do đó (1) <=> x=13 (tm)

Có vẻ giống bài tổng quat của sqing bên AoPS. Mặc dù sqing nói chưa biết bài tổng quát này đúng hay sai:

Cho a, b, c, d là các số thực và \(k\ge3\). Chứng minh (hay phản chứng minh):

\(\left(a^2+k\right)\left(b^2+k\right)\left(c^2+k\right)\left(d^2+k\right)\ge\left(k+1\right)^2\left(a+b+c+d+k-3\right)^2\)

Nguồn: https://artofproblemsolving.com/community/c6h19666p10662432

Mà t nghĩ làm tìm min:v