Bạn tham khảo sol ở đây nhé !

IMO ShortList 1998, number theory problem 1

Hơi bị gắt đó,IMO 1998 ( mặc dù đề lệch 1 tẹo so với IMO )

Rảnh thì tớ sẽ sol cho các bạn xem,cậu vào TKHĐ của tớ là thấy link nhé !!!

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :

\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a.\frac{3a+a+2b}{2}=2a^2+ab\)

Tương tự : \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\)

Cộng vế theo vế, ta được :

\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2\left(a^2+b^2\right)+2ab=4+2ab\le4+a^2+b^2\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

=3a+2b bằng số thỏa mãn

B A M K O H I h d

Gọi H là hình chiếu của O đến đường thẳng d. Khi đó : OH = h không đổi

dễ chứng minh OM \(\perp AB\)tại K

gọi giao điểm của OH với AB là I

Ta có : \(\Delta OKI~\Delta OHM\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}\Rightarrow OK.OM=OI.OH\)

Áp dụng hệ thức lượng, ta có :

\(OB^2=OK.OM=OH.OI\Rightarrow OI=\frac{OB^2}{OH}=\frac{R^2}{h}\)không đổi ( R là bán kính đường tròn (O) )

vậy AB đi qua điểm I cố định

bài nào cx hỏi z :))

BĐT cần chứng minh tương đương với :

\(x+\frac{4x^3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^3}+1>4\)

Áp dụng BĐT Cô-si,

Ta có : \(x+\frac{4x^3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^3}+1=\frac{x^2-1}{x}+\frac{x+1}{2x}+\frac{x+1}{2x}+\frac{4x^3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^3}\)

\(\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x^2-1}{x}=\frac{x+1}{2x}=\frac{4x^3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^3}\)

giải đc cái trên là vô nghiệm nên dấu "=" không xảy ra

bạn thanh tùng làm giống mình đó

Rõ ràng cặp (x;y) =(t;0) với t \(\inℤ\)là một nghiệm của phương trình

Xét trường hợp y\(\ne\)0, khi đó ta viết được phương trình dưới dạng 

\(2y^2+\left(x^2-3x\right)y+\left(3x^2+x\right)=0\)(1)

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn y. Biệt thức \(\Delta\)của nó bằng

\(\left(x^2-3x\right)^2-8\left(3x^2+x\right)=\left(x^2-8x\right)\left(x+1\right)^2\)

Đến đây phương trình (1) có nghiệm y nguyên điều kiện cần là \(\Delta\)phải là số thích phương. Từ đây ta có các TH sau
TH1: x=-1 thay vào (1) ta tính được y=-1

TH2: x\(\ne\)-1, x²-8x=a²(a\(\in\)N) Lúc này ta có: (x-4)²-a²=16 hay [|x-4|-a][|x-4|+a]=16

Dễ dàng tìm được x=0 (tương ứng ới y=0, loại), x=8 (tương ứng với y=-10) và x=9 (tương ứng y=-6 hoặc y=-21)

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là: S={(t;0);(8;-10);(9;-6);(-1;-1)} (t\(\in\)Z)

Gắt thế,IMO 2003

Đặt \(S=\frac{x^2}{2xy^2-y^3+1}\)

Xét \(b=1\Rightarrow S=\frac{x^2}{2x}=\frac{x}{2}\Rightarrow x=2k\) thỏa mãn 

Xét \(b>1\) Đặt \(\frac{x^2}{2xy^2-y^3+1}=u\)

\(\Rightarrow x^2-2y^2ux+\left(y^3-1\right)u=0\)

Xét \(\Delta=\left(2y^2u\right)^2-4\left(b^3-1\right)u\) phải là số chính phương

Ta dễ dàng chứng minh được \(\left(2y^2u-y-1\right)^2< \Delta< \left(2y^2u-y+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(2y^2u-y\right)^2\Rightarrow y^2=4u\)

Đặt \(y=2t\Rightarrow x=t\left(h\right)x=8t^4-t\)

Vậy.........................

Bài 1 : 

\(x^2y+4xy+4y=162x-162\)

\(\Rightarrow y\left(x^2+4x+4\right)=162\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow y=\frac{162\left(x-1\right)}{x^2+4x+4}\)

Vì \(y\in Z\Rightarrow\frac{162\left(x-1\right)}{x^2+4x+4}\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{162\left(x-1\right)\left(x+5\right)}{x^2+4x+4}\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{162\left(x^2+4x-5\right)}{x^2+4x+4}\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{162\left(x^2+4x+4-9\right)}{x^2+4x+4}\in Z\)

\(\Rightarrow162-\frac{1458}{x^2+4x+4}\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{1458}{\left(x+2\right)^2}\in Z\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2\in\left\{729,81,9\right\}\) vì \(\left(x+2\right)^2\) là số chính phương x>0

\(\Rightarrow x+2\in\left\{27,9,3\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{25,7,1\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{\frac{16}{3},12,0\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x,y\right)\in\left\{\left(7,12\right),\left(1,0\right)\right\}\)

Bài 2 : 

a,

E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC, CD, DA nên ta có:

EF là đường trung bình trong tam giác ABC nên \(\hept{\begin{cases}EF//AC\\EF=\frac{1}{2}AC\end{cases}}\)

GH là đường trung bình trong tam giác DAC nên  \(\hept{\begin{cases}GH//AC\\GH=\frac{1}{2}AC\end{cases}}\)

Tứ giác EFGH có \(\hept{\begin{cases}GH//FE\\GH=FE=\frac{1}{2}AC\end{cases}}\) nên EFGH là hình bình hành

b,

EFGH là hình chữ nhật khi và chỉ khi EF vuông góc với FG hay AC vuông góc BD

A B C M

Tớ thử làm trường hợp tam giác ABC đều,còn tam giác thường chắc nhờ cô Linh Chi cứu

Tứ giác ABMC nội tiếp ( O ) nên theo định lý Ptoleme ta có \(BM\cdot AC+MC\cdot AB=BC\cdot AM\)

\(\Leftrightarrow BM+CM=AM\)

Theo BĐT Ba Con Sâu ta có:\(\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}\ge\frac{4}{MA}\ge\frac{4}{2R}=2R\)

Dấu "=" xảy ra tại M là điểm chính giữa cung BC