Bài `1`

\(A=\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}\\ =\sqrt{3-2\sqrt{15}+5}-\sqrt{3+2\sqrt{15}+5}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^2}\\ =\left|\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|-\left|\sqrt{3}+\sqrt{5}\right|\\ =\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}\\ =-2\sqrt{3}\)

\(B=\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ B-\sqrt{2}=\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\cdot\sqrt{2}\\ =\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2}\\ =\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot2}-\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\cdot2}\\ =\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{4+2\sqrt{3}}\\ =\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\cdot1+1^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}\cdot2+1^2}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\\ =\left|\sqrt{3}-1\right|-\left|\sqrt{3}+1\right|\\ =\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1\\ =-2\)

Mà \(A-\sqrt{2}=-2\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{-2}{\sqrt{2}}=\dfrac{-\left(\sqrt{2}\right)^2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)

2) \(C=x-\sqrt{x-3}\)

\(C=\left(x-3\right)-\sqrt{x-3}+3\)

Đặt \(\sqrt{x-3}=t\left(t\ge0\right)\)

\(C=t^2-t+3\)

\(C=t^2-2t.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}\)

\(C=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\) \(\ge\dfrac{11}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\sqrt{x-3}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{4}\)

Vậy GTNN của C là \(\dfrac{11}{4}\)

\(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{x-1}\right)\\ =\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\\ =\left(\dfrac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\\ =\dfrac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\\ =\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\)

https://edward29.github.io/surprise/

** Sửa đề: $m\neq 0; m\neq -1$

Lời giải:

Gọi đths đã cho là $(d)$.

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$với trục $Ox, Oy$.

Do $A\in Ox$ nên $y_A=0$

$A\in (d)\Rightarrow y_A=mx_A+x_A+1$

$\Leftrightarrow 0=x_A(m+1)+1$

$\Leftrightarrow x_A=\frac{-1}{m+1}$

Do $B\in Oy$ nên $x_B=0$

$y_B=mx_B+x_B+1=m.0+0+1=1$

Gọi $h$ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến $(d)$. 

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{x_A^2}+\frac{1}{y_B^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{h^2}=1+(m+1)^2$

Với $m\neq -1$ thì không tìm được min $1+\frac{1}{(m+1)^2}$, tức là không tìm được max h. 

hello

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq -2$

PT $\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}+3\sqrt{4}.\sqrt{x+2}-\sqrt{9}.\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}+6\sqrt{x+2}-3\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=2$

$\Leftrightarrow x+2=4$

$\Leftrightarrow x=2$ (tm)

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 4$

PT $\Leftrightarrow x-2+\sqrt{x-4}-2\sqrt{x-3}=0$

$\Leftrightarrow [(x-3)-2\sqrt{x-3}+1]+\sqrt{x-4}=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x-3}-1)^2+\sqrt{x-4}=0$

Vì $(\sqrt{x-3}-1)^2\geq 0; \sqrt{x-4}\geq 0$ với mọi $x\geq 4$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $\sqrt{x-3}-1=\sqrt{x-4}=0$

$\Leftrightarrow x=4$

Thử lại thấy tm

Vậy............

*Bạn tự vẽ hình nha*

a) Xét Δ ABC vuông tại A, có:

   Góc B + góc C = 90°

⇒ Góc C= 90° - Góc B= 90° - 50°= 40°

Theo tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

· AC =BC.SinB = 50. Sin50°= 38,3 (cm)

· AB = BC. SinC= 50. Sin40°= 32,1 (cm)

Sai chỗ nào thì bảo mình nhen !

Bạn ơi, Tích ✅ cho mình với

Để chứng minh rằng a^2 + b^2 + c^2 < 2 với điều kiện a + b + c = 0 và -1 < a <= b <= c < 1, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giả định trái ngược (proof by contradiction).

Giả sử rằng a^2 + b^2 + c^2 >= 2, sau đó chúng ta sẽ chứng minh rằng điều kiện a + b + c = 0 không thể thỏa mãn.

Với a + b + c = 0, chúng ta có thể viết lại bằng cách sử dụng c = -(a + b):

a^2 + b^2 + (-a-b)^2 >= 2

Mở ngoặc và rút gọn:

a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 >= 2

3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2

Chúng ta sẽ chứng minh rằng bất phương trình trên không thể đúng với điều kiện -1 < a <= b <= c < 1.

Với -1 < a <= b <= c < 1, ta có:

-1 < a <= b <= -a-b < 1

Thêm cả hai vế của bất phương trình này:

-1 < a+b <= 0 < 1

Điều này cho thấy a + b không thể bằng 1 hoặc -1.

Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng bất phương trình 3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2 không thể đúng với a + b không bằng 1 hoặc -1.

Ta có:

3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2

Với a + b không bằng 1 hoặc -1, ta có:

3a^2 + 2ab + 2b^2 > 3a^2 - a^2 + 2ab + b^2

= 2a^2 + 2ab + b^2

= (a + b)^2 + a^2

Vì (a + b)^2 >= 0 và a^2 >= 0, ta có:

(a + b)^2 + a^2 >= 0 + 0 = 0

Điều này cho thấy rằng bất phương trình không thể đúng.

Vì vậy, giả định ban đầu là sai và chúng ta kết luận rằng a^2 + b^2 + c^2 < 2 với điều kiện a + b + c = 0 và -1 < a <= b <= c < 1.