X³ + Y³ + Z³ = 3XYZ

<=> X³ + Y³ + Z³ - 3XYZ = 0

<=> ( X³ + Y³ ) + Z³ - 3XYZ = 0

<=> ( X + Y )³ - 3XY( X + Y ) + Z³ - 3XYZ = 0

<=> [ ( X + Y )³ + Z³ ] - 3XY( X + Y + Z ) = 0

<=> ( X + Y + Z )[ ( X + Y )² - ( X + Y ).Z + Z² - 3XY ] = 0

<=> ( X + Y + Z )( X² + Y² + Z² - XY - YZ - XZ ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}X+Y+Z=0\\X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-XZ=0\end{cases}}\)

+) X + Y + Z = 0 => \(\hept{\begin{cases}X+Y=-Z\\Y+Z=-X\\X+Z=-Y\end{cases}}\)

KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(\frac{X+Y}{Y}\right)\left(\frac{Y+Z}{Z}\right)\left(\frac{X+Z}{X}\right)=\frac{-Z}{Y}\cdot\frac{-X}{Z}\cdot\frac{-Y}{X}=-1\)

+) X² + Y² + Z² - XY - YZ - XZ = 0

<=> 2( X² + Y² + Z² - XY - YZ - XZ ) = 0

<=> 2X² + 2Y² + 2Z² - 2XY - 2YZ - 2XZ = 0

<=> ( X² - 2XY + Y² ) + ( Y² - 2YZ + Z² ) + ( X² - 2XZ + Z² ) = 0

<=> ( X - Y )² + ( Y - Z )² + ( X - Z )² = 0 (1)

DỄ DÀNG CHỨNG MINH (1) ≥ 0 ∀ X,Y,Z

DẤU "=" XẢY RA <=> X = Y = Z

KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(1+\frac{Y}{Y}\right)\left(1+\frac{Z}{Z}\right)\left(1+\frac{X}{X}\right)=2\cdot2\cdot2=8\)

Khi x + y + z = 0

=> x + y = -z

=> x + z = - y

=> y + z = - x

Khi đó M = \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=-1\)

\(\left(x+2\right)^2+\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4+x^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4x=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x=0\\x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}}\)

Chia cho -1

ẩn phụ liên hoàn chưởng :3

Đặt a = x¹⁰

Biểu thức đã cho trở thành a² - 10a + 1

Ta có : a² - 10a + 1 = ( a² - 10a + 25 ) - 26 = ( a - 5 )² - 26 = ( x¹⁰ - 5 )² - 26 ≥ -26 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x¹⁰ - 5 = 0

<=> x¹⁰ = 5

<=> x = \(\pm\sqrt[10]{5}\)

Vậy GTNN của biểu thức là -26, đạt được khi x = \(\pm\sqrt[10]{5}\)

ấy chết nhầm dấu :(( mà bài này có sai không vậy ._. bấm máy lại không ra 

Ta có:\(B=\frac{x^2+y^2}{xy+x}=\frac{x^2+y^2}{x\left(y+1\right)}\)

a,Tại \(x=-2;y=3\)thì biểu thức có giá trị là:

\(B=\frac{\left(-2\right)^2+3^2}{-2\left(3+1\right)}=\frac{4+9}{-6-2}=\frac{-13}{8}\)

b,Tại \(x=\frac{1}{2};y=-1\)

\(B=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-1\right)^2}{\frac{1}{2}\left(-1+1\right)}=\frac{\frac{1}{4}+1}{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{5}{4}}{0}\)

Ta có : \(B=\frac{x^2+y^2}{xy+x}=\frac{x^2+y^2}{x\left(y+1\right)}\)

a, Thay x = -2 ; y = 3 ta có : 

\(=\frac{\left(-2\right)^2+3^2}{-2\left(3+1\right)}=\frac{13}{-8}\)

b, Thay x = 1/2 ; y = -1 ta có : 

\(=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-1\right)^2}{\frac{1}{2}\left(-1+1\right)}=\frac{\frac{1}{4}+1}{0}\)vô lí =))

Có: \(4x^2-3xy-y^2-p\left(3x+2y\right)=2p^2\Leftrightarrow\left(4x+y\right)\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)=2p^2\)\(\Leftrightarrow\left[\left(3x+2y\right)+\left(x-y\right)\right]\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)=2p^2\)\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)+\left(x-y\right)^2-p^2=p^2\)\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(x-y-p\right)+\left(x-y-p\right)\left(x-y+p\right)=p^2\)\(\Leftrightarrow\left(x-y-p\right)\left(4x+y+p\right)=p^2=1.p^2\)

Do \(4x+y+p>x-y-p\)nên \(\hept{\begin{cases}x-y-p=1\left(1\right)\\4x+y+p=p^2\left(2\right)\end{cases}}\)(Do p là số nguyên tố)

Lấy (1) + (2), ta được: \(5x=p^2+1\Rightarrow5x-1=p^2\)(là số chính phương, đpcm)