1. Sử dụng svacxo

hoặc bạn dùng hệ quả của cauchy

2. Lần sau bạn đừng gửi ảnh. Nó sẽ không hiện đâu

Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2-1\le\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ac}\)  (1)

với a, b , c dương  và a + b + c = 3 

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)=9-2t\)

Với \(t=ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

Ta cần chứng minh: \(9-2t-1\le\frac{2\left(9-2t\right)}{t}\)(2)

<=> \(t^2-6t+9\ge0\)

<=> \(\left(t-3\right)^2\ge0\) luôn đúng 

=> (2) đúng 

=> (1) đúng 

Dấu "=" xảy ra <=> t = 3 <=> a + b + c = 1  và ab + bc + ac = 3 <=> a = b = c = 1

\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}-\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=\frac{\left(a-b\right)^4+\left(b-c\right)^4+\left(c-a\right)^4}{9\left(ab+bc+ca\right)}\ge0\)

Bạn kiểm tra lại đề nhé!

\(\hept{\begin{cases}3x^2-2y^2-xy+12x-17y-15=0\left(1\right)\\\sqrt{2-x}+\sqrt{6-x-x^2}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+4}\left(2\right)\end{cases}}\)

PT (1) \(\Leftrightarrow3x^2-x\left(y-12\right)-2y^2-17y-15=0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(y-12\right)^2+4\cdot3\cdot\left(2y^2+17y+15\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=y^2-24y+144+24y^2+204y+180\)

\(\Leftrightarrow\Delta=25y^2+180y+324\)

\(\Delta=\left(5y+18\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{y-12+5y+18}{3}=2y+2\\x=\frac{y-12-5y-18}{3}=\frac{-4y}{3}-10\end{cases}}\)

\(x=2y+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2-x}+\sqrt{6-x-x^2}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-2y}+\sqrt{6-2y-2-4y^2-8y-4}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-2y}+\sqrt{-4y^2-10y+0}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+6}\)

\(\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=2\)

Vậy (x;y)=(2;0)

Xét Delta 2 phương trình trên:

\(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)

Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge0\Rightarrow\) ít nhất một trong 2 phương trình trên có nghiệm

Sao giống cách Nhất Huy làm trên Facebook thế 😂

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)+3abc\)

\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(ab+bc+ac\right)+3abc\)

Xét: \(4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge9\)(1)

<=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(ab+bc+ac\right)-3abc\ge9\)

<=> \(\left(a+b+c\right)^2+\left(ab+bc+ac\right)-3abc\ge9\)

<=> \(ab+bc+ac\ge3abc\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)(2)

Để chứng (1) đúng ta cần chứng minh (2) đúng

Thật vậy ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

=> (2) đúng 

Vậy (1) đúng 

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =1 .