Lý thuyết nhị thức Newton và tam giác Pascal là gì

tht là lp 7 kh v

📘 1. Nhị thức Newton là gì?

Nhị thức Newton là một công thức dùng để khai triển lũy thừa của một tổng dạng \(\left(\right. a + b \left.\right)^{n}\), trong đó \(n\) là số tự nhiên.

✅ Công thức nhị thức Newton:

\(\left(\right. a + b \left.\right)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \left(\right. \frac{n}{k} \left.\right) a^{n - k} b^{k}\)

Trong đó:

• \(\left(\right. \frac{n}{k} \left.\right)\) là hệ số nhị thức, đọc là "n chọn k", được tính bằng:

\(\left(\right. \frac{n}{k} \left.\right) = \frac{n !}{k ! \left(\right. n - k \left.\right) !}\)

• \(a , b\) là các biểu thức hoặc số thực.
• \(n\) là số mũ nguyên không âm (0, 1, 2, ...)

🎯 Ví dụ:

Khai triển \(\left(\right. a + b \left.\right)^{3}\) bằng nhị thức Newton:

\(\left(\right. a + b \left.\right)^{3} = \left(\right. \frac{3}{0} \left.\right) a^{3} b^{0} + \left(\right. \frac{3}{1} \left.\right) a^{2} b^{1} + \left(\right. \frac{3}{2} \left.\right) a^{1} b^{2} + \left(\right. \frac{3}{3} \left.\right) a^{0} b^{3}\) \(= 1 a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\)

🟨 2. Tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal là một bảng sắp xếp các hệ số nhị thức \(\left(\right. \frac{n}{k} \left.\right)\) theo hình tam giác. Mỗi số trong tam giác là tổng của hai số phía trên nó.

🔻 Cấu trúc của tam giác Pascal:

        1               ← hàng 0
       1 1             ← hàng 1
      1 2 1            ← hàng 2
     1 3 3 1           ← hàng 3
    1 4 6 4 1          ← hàng 4
   1 5 10 10 5 1       ← hàng 5
  ...

• Mỗi hàng ứng với khai triển của \(\left(\right. a + b \left.\right)^{n}\)
• Hệ số của \(\left(\right. a + b \left.\right)^{n}\) là các số ở hàng thứ \(n\) của tam giác Pascal.

🎯 Ví dụ ứng dụng:

Dùng tam giác Pascal để khai triển \(\left(\right. x + y \left.\right)^{4}\):

→ Hàng thứ 4 là: 1 4 6 4 1

\(\left(\right. x + y \left.\right)^{4} = 1 x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + 1 y^{4}\)

✅ Tóm tắt dễ nhớ:

a: (x-2)(x+3)>0

TH1: \(\begin{cases}x-2>0\\ x+3>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>2\\ x>-3\end{cases}\Rightarrow x>2\)

TH2: \(\begin{cases}x-2<0\\ x+3<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<2\\ x<-3\end{cases}\)

=>x<-3

b: (2x-1)(-x+1)>0

=>(2x-1)(x-1)<0

TH1: \(\begin{cases}2x-1>0\\ x-1<0\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}x>\frac12\\ x<1\end{cases}\)

=>\(\frac12

TH2: \(\begin{cases}2x-1<0\\ x-1>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<\frac12\\ x>1\end{cases}\)

=>x∈∅

c: (x+1)(3x-6)<0

=>3(x+1)(x-2)<0

=>(x+1)(x-2)<0

TH1: \(\begin{cases}x+1>0\\ x-2<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>-1\\ x<2\end{cases}\Rightarrow-1

TH2: \(\begin{cases}x+1<0\\ x-2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<-1\\ x>2\end{cases}\)

=>x∈∅

a) Khi \(o_3=55^{\circ}\)

• • Khi hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(O\), ta có bốn góc: \(o_1,o_2,o_3,o_4\).
  • Các góc đối diện với nhau là bằng nhau, tức là:
  • • \(o_1=o_3\)
    • \(o_2=o_4\)
  • Từ \(o_3=55^{\circ}\), ta có:
  • • \(o_1=55^{\circ}\)
  • Tổng các góc xung quanh điểm \(O\) là \(36 0^{\circ}\): \(o_1+o_2+o_3+o_4=360^{\circ}\)
  • Thay giá trị của \(o_1\) và \(o_3\): \(55^{\circ}+o_2+55^{\circ}+o_4=360^{\circ}\) \(110^{\circ}+o_2+o_4=360^{\circ}\) \(o_2+o_4=250^{\circ}\)
  • Vì \(o_2=o_4\), ta có: \(2o_2=250^{\circ}\textrm{ }\Longrightarrow\textrm{ o}_2=125^{\circ}\) \(o_4=125^{\circ}\)
• Kết quả:
• • \(o_1=55^{\circ}\)
  • \(o_2=125^{\circ}\)
  • \(o_3=55^{\circ}\)
  • \(o_4=125^{\circ}\)

b) Khi \(o_1+o_3=150^{\circ}\)

• • Từ \(o_1+o_3=150^{\circ}\) và biết rằng \(o_1=o_3\): \(o_1+o_1=150^{\circ}\textrm{ }\Longrightarrow\textrm{ }2o_1=150^{\circ}\textrm{ }\Longrightarrow\textrm{ o}_1=75^{\circ}\) \(o_3=75^{\circ}\)
  • Từ đó, ta có: \(o_2=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}\) \(o_4=105^{\circ}\)
  • • \(o_2=180^{\circ}-o_1\) (góc phụ)
  • • \(o_4=o_2\) (góc đối diện)
• Kết quả:
• • \(o_1=75^{\circ}\)
  • \(o_2=105^{\circ}\)
  • \(o_3=75^{\circ}\)
  • \(_{O4}=105^{\circ}\)

Tóm tắt kết quả:

• a) \(o_1=55^{\circ},o_2=125^{\circ},o_3=55^{\circ},o_4=125^{\circ}\)
• b) \(o_1=75^{\circ},o_2=105^{\circ},o_3=75^{\circ},o_4=105^{\circ}\)
• THAM KHẢO

Giải:

\(\hat{o_1}\) = \(\hat{O_3}\) = \(55^0\) (hai góc đối đỉnh)

\(\hat{O4}\) + \(\hat{O3}\) = 180\(^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{O_4}\) = 180\(^0\) - \(\hat{O_3}\)

\(\hat{O}_4\) = 180\(^0\) - 55\(^0\) = 125\(^0\)

\(\hat{O_4}\) = \(\hat{O_2}\) = 125\(^0\) (hai góc đối đỉnh)

1. She enjoys swimming in the pool every weekend.
2. My brother likes collecting coins from different countries.
3. They are interested in watching films.
4. I often spend my free time reading comics.
5. Hoa loves cooking with her mother.

hãy cho mk tick nhé

1. viết tiếp: playing chess in her free time.

2. viết tiếp: going swimming every Sunday.

3. viết tiếp: cooking dinner.

1. She plays chess in her free time. → She enjoys playing chess in her free time.
2. We go swimming every Sunday. → We like going swimming every Sunday.
3. He often cooks dinner. → He loves cooking dinner.

• Sophie didn't succeed in phoning you yesterday ạ

Sophie didn’t succeed in phoning you yesterday.