khó alwms

Do \(x_1+x_2=1-m;x_1x_2=-m^2-2\) nên x₁; x₂ là 2 nghiệm của phương trình 

\(x^2-\left(1-m\right)x-\left(m^2+2\right)=0\)

Theo Viete ta có:\(ac=-m^2-2< 0\) nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Đặt \(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^3=-t< 0\Rightarrow\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^3=\frac{-1}{t}\)

Ta có:\(T=-t-\frac{1}{t}\) ( Mình đoán không phải (x₁/x₂)³+(x₂/x₁)³ mà là (x₁/x₂)3-(x₂/x₁)³ nhé )

\(=-\left(t+\frac{1}{t}\right)\le2\)

Đẳng thức xảy ra bạn tự tìm nhé !

Bài làm:

Ta xét: \(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4bc}}=2.\frac{1}{2a}=\frac{1}{a}\)

Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{b}\)và \(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow VT+\frac{1}{4}\left(\frac{b+c}{bc}+\frac{c+a}{ca}+\frac{a+b}{ab}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Dạ nếu em làm còn nhầm lẫn chỗ nào thì mong mn thông cảm ạ!

Ở đoạn tương tự mình viết nhầm phải là: \(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge\frac{1}{b}\)  và \(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{c}\)nhé!

Học tốt!!!!

\(3\left(x+y+z\right)+4\le\frac{27}{4}xyz\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)^3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z-4\right)\left(x+y+z+2\right)^2\ge0\)

Ta có:

\(2a^2+b^2-2ab-6a+2b+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-2\left(a-b\right)+1\right]+\left(b^2-4b+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b+1\right)^2+\left(b-2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow b=2;a=1\)

Khi đó phương trình tương đương với:

\(x^2-2x-m^2-1=0\)

Xét \(\Delta'=1+m^2+1>0\) có 2 nghiệm phân biệt

Không hiểu ý đề bài cho lắm :V

 có \(\Delta>0\) rồi xét P<0 là ok. 

Thanks ~~