P/s: Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa

Từ D kẻ các đường song song với AC,AB cắt AB,AC lần lượt tại E,F

=> Tứ giác AEDF là hình bình hành

Lại có AD là phân giác góc EAF => Tứ giác AEDF là hình thoi

=> AE = ED = DF = FA

Xét trong tam giác AED cân tại E có góc EAD = 60 độ

=> Tam giác AED đều => AD = DE = DF

Áp dụng định lý Thales ta có: 

DE // AC => \(\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}\)      ;  DF // AB => \(\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{BC}\)

Cộng vế với vế 2 đẳng trên ta được: \(\frac{DE}{AC}+\frac{DF}{AB}=\frac{BD}{BC}+\frac{DC}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AD}{AC}+\frac{AD}{AB}=1\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}\)

=> đpcm

Đề bài thiếu hở :??

cần gấp

\(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+...+\frac{2}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n+1-1}{2n+1}\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}\)

Ta có : 2x² + 2x + 3

= 2( x² + x + 1/4 ) + 5/2

= 2( x + 1/2 )² + 5/2 ≥ 5/2 ∀ x

hay \(2x^2+2x+3\ge\frac{5}{2}\)

=> \(\frac{1}{2x^2+2x+3}\le\frac{2}{5}\)

=> \(\frac{3}{2x^2+2x+3}\le\frac{6}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = -1/2

Vậy MaxA = 6/5, đạt được khi x = -1/2

\(A=\frac{3}{2x^2+2x+3}=\frac{3}{2\left(x^2+2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{5}{2}}\)

\(=\frac{3}{2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{2}}\le\frac{3}{2.0+\frac{5}{2}}=\frac{6}{5}\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(x=\frac{-1}{2}\)

a) a³ - a²c + a²b - abc

= a( a² - ac + ab - bc )

= a[ a( a - c ) + b( a - c ) ]

= a( a - c )( a + b )

b) ( x² + 1 )² - 4x²

= ( x² + 1 )² - ( 2x )²

= ( x² - 2x + 1 )( x² + 2x + 1 )

= ( x - 1 )²( x + 1 )²

c) x² - 10x - 9y² + 25

= ( x² - 10x + 25 ) - 9y²

= ( x - 5 )² - ( 3y )²

= ( x - 3y - 5 )( x + 3y - 5 )

d) 4x² - 36x + 56

= 4( x² - 9x + 14 )

= 4( x² - 7x - 2x + 14 )

= 4[ x( x - 7 ) - 2( x - 7 ) ]

= 4( x - 7 )( x - 2 )

a,\(a^3-a^2c+a^2b-abc\)

\(=a\left(a^2-ac+ab-bc\right)\)

\(=a\left[a\left(a-c\right)+b\left(a-c\right)\right]\)

\(=a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

b,\(\left(x^2+1\right)^2-4x^2\)

\(=\left(x^2+1-2x\right)\left(x^2+1+2x\right)\)

\(=\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2\)

c,\(x^2-10x-9y^2+25\)

\(=\left(x^2-10x+25\right)-9y^2\)

\(=\left(x-5\right)^2-\left(3y\right)^2\)

\(=\left(x-5-3y\right)\left(x-5+3y\right)\)

d,\(4x^2-36x+56\)

\(=4\left(x^2-9x+14\right)\)

\(=4\left(x^2-7x-2x+14\right)\)

\(=4\left(x-7\right)\left(x-2\right)\)