\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

ĐKXĐ : x, y ≠ 0

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}=2\)(1)

\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2\cdot\frac{1}{y^2}}=2\)(2)

Từ (1) và (2) => \(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}\ge4\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2=\frac{1}{x^2}\\y^2=\frac{1}{y^2}\\x^2\cdot\frac{1}{x^2}=y^2\cdot\frac{1}{y^2}\end{cases}}\Rightarrow x=y=\pm1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = y = ±1

P/s: có thể AM-GM cho 4 số luôn cũng được 

Ta có : \(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)\(\left(x,y\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

mà \(\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{1}{x}\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-\frac{1}{y}\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=0\\\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^2-1}{x}=0\\\frac{y^2-1}{y}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-1=0\\y^2-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1\left(1\right)\\y^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right)\): \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

Từ \(\left(2\right)\): \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\){\(\left(1;1\right);\left(1;-1\right);\left(-1;1\right);\left(-1;-1\right)\)}

ĐKXĐ : x ≠ a , x ≠ b

pt <=> \(1+\frac{1}{x-a}-1-\frac{1}{x-b}-\frac{a}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}=0\)

<=> \(\frac{x-b}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}-\frac{x-a}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}-\frac{a}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}=0\)

<=> \(\frac{x-b-x+a-a}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}=0\)

<=> \(\frac{-b}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}=0\)

=> b = 0

Phương trình nghiệm đúng ∀ a

Với b = 0 => phương trình vô số nghiệm với x ≠ 0

Với b ≠ 0 => phương trình vô nghiệm x

KẾT LUẬN : ∀ a và b = 0 => phương trình vô số nghiệm với x ≠ 0

                    ∀ a và b ≠ 0 => phương trình vô nghiệm 

bài này hình như quy đồng vế trái là được nhé

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)⋮4\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)⋮2^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)⋮2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2⋮2\\b^2⋮2\\c^2⋮2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a⋮2\\b⋮2\\c⋮2\end{cases}}\)

Vậy a,b,c đồng thời chia hết cho 2

* Note: Bạn Greninja làm sai rồi, \(a^2+b^2+c^2⋮2\)chưa thể khẳng định \(a^2,b^2,c^2⋮2\)vì trong ba số a,b,c có thể tồn tại 1 số chẵn, 2 số lẻ. Phản ví dụ sau [a,b,c] = [1,2,3]. a,c lẻ mà \(a^2+b^2+c^2⋮2\)đấy thôi. Sau đây là lời giải của mình, bạn tham khảo:

Ta dễ có số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 (Cái này cơ bản, có nhiều trên mạng, hay các loại sách nâng cao)

Xét các trường hợp số dư: 0 + 0 + 1, 0 + 1 + 1, 1 + 0 + 1,... chỉ có trường hợp số dư 0 + 0 + 0 thỏa mãn, như vậy \(a^2,b^2,c^2⋮4\Rightarrow a,b,c⋮2\)(đpcm)

Yêu cầu:tìm x

Với x \(\inℕ\)ta có : 1 + x(x + 2) = x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Ta có \(\left(1+\frac{1}{1.3}\right)\left(1+\frac{1}{2.4}\right)\left(1+\frac{1}{3.5}\right)...\left(1+\frac{1}{x\left(x+2\right)}\right)=\frac{31}{16}\)

=> \(\left(\frac{1+1.3}{1.3}\right)\left(\frac{2.4+1}{2.4}\right)\left(\frac{3.5+1}{3.5}\right)....\left(\frac{x\left(x+2\right)+1}{x\left(x+2\right)}\right)=\frac{31}{16}\)

=> \(\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}....\frac{\left(x+1\right)^2}{x\left(x+2\right)}=\frac{31}{16}\)

=> \(\frac{2^2.3^2.4^2...\left(x+1\right)^2}{1.3.2.4.3.5...x\left(x+2\right)}=\frac{31}{16}\)

=> \(\frac{\left(2.3.4...\left(x+1\right)\right).\left(2.3.4....\left(x+1\right)\right)}{\left(1.2.3...x\right)\left(3.4.5...\left(x+2\right)\right)}=\frac{31}{16}\)

=> \(\frac{\left(x+1\right).2}{x+2}=\frac{31}{16}\)

=> 31(x + 2) = (x + 1).2.16

=> 31x + 62 = (x + 1).32

=> 31x + 62 = 32x + 32

=> 32x - 31x = 62 - 32

=> x = 30

Vậy x = 30

Giải phương trình nhé!

Ta có x³ - y³ + z³ + 3xyz

= (x - y)(x² + xy + y²) + z³ + 3xyz

= (x - y)³ + 3xy(x - y) + z³ + 3xyz

= [(x - y)³ + z³] + (3xy(x - y) + 3xyz)

= (x - y + z)[(x - y)² - (x - y).z + z²] + 3xy(x - y + z)

= (x - y + z)[x² - 2xy + y² - xz + yz + z²] + 3xy(x - y + z)

= (x - y + z)(x² + y² + z² + xy + yz - zx)

Lại có (x + y)² + (y + z)² + (z - x)²

= x² + y² + 2xy + y² + z² + 2yz + z² - 2xz + x²

= 2x² + 2y² + 2z² + 2xy + 2yz - 2zx

= 2(x² + y² + z² + xy + yz - zx)

Khi đó \(\frac{x^3-y^3+z^3+3xyz}{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2}=\frac{\left(x-y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-zx\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-zx\right)}\)

\(=\frac{x-y+z}{2}\)

Đặt \(A=\frac{x^3-y^3+z^3+3xyz}{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

Xét tử, ta có: 

\(x^3-y^3+z^3+3xyz=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)+z^3+3xyz\)

\(=\left(x-y\right)^3+z^3+3xy\left(x-y\right)+3xyz\)

\(=\left(x-y+z\right)^3-3\left(x-y\right).z\left(x-y+z\right)+3xy\left(x-y+z\right)\)

\(=\left(x-y+z\right)\left[\left(x-y+z\right)^2-3\left(x-y\right)z+3xy\right]\)

\(=\left(x-y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2xz-3xz+3yz+3xy\right)\)

\(=\left(x-y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz\right)\)

Xét mẫu, ta có: 

\(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

\(=x^2+2xy+z^2+y^2+2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\)

\(=2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz-2xz\)

\(=2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{x-y+z}{2}\)

sai đề rồi nhé , đề phải là :

\(\frac{x^3-y^3+z^3+3xyz}{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)^3+3xy.\left(x-y\right)+z^3+3xyz}{x^2+2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+z^2-2xz+x^2}\)

\(=\frac{\left(x-y+z\right).\left[\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right).z+z^2\right]+3xy.\left(x-y+z\right)}{2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz-2xz}\)

\(=\frac{\left(x-y+z\right).\left(x^2-2xy+y^2-xz+yz+z^2+3xy\right)}{2.\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y+z\right).\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz\right)}{2.\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz\right)}\)

\(=\frac{x-y+z}{2}\)