Đặt \(x-3=t\) khi đó:

\(\left(t+1\right)^4+\left(t-1\right)^4=16\)

\(\Leftrightarrow t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=16\)

\(\Leftrightarrow2t^4+12t^2-14=0\)

\(\Leftrightarrow t^4+6t^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t^4-t^2\right)+\left(7t^2-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2-1\right)\left(t^2+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t^2-1=0\\t^2+7=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t^2=1\\t^2=-7\left(ktm\right)\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=1\\x-3=-1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=2\end{cases}}}\)

Vậy x = 2 hoặc x = 4

Ta có: \(\left(x+y\right)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\)

\(\Rightarrow x^4+y^4=\left(x+y\right)^4-\left(4x^3y+4xy^3\right)-6x^2y^2\)

\(=\left(x+y\right)^4-4xy\left(x^2+y^2\right)-6x^2y^2\)

Lại có: \(x^2+2xy+y^2=\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=28\Rightarrow\left(x+y\right)^4=784\)

Khi đó: \(x^4+y^4=784-4\cdot5\cdot18-6\cdot5^2=274\)

Vậy \(x^4+y^4=274\)

\(f\left(x,y\right)\)nhận \(x=1\)làm nghiệm

\(\Rightarrow f\left(x,y\right)=\left(3-4y+4\right)\left(1+3y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow f\left(x,y\right)=3y.\left(-4y+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\-4y+7=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\4y=7\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=\frac{7}{4}\end{cases}}\)

Vậy \(y=0\)hoặc \(y=\frac{7}{4}\)

Vì x = 1 là nghiệm của phương trình nên Thay x = 1 vào biểu thức trên ta được 

\(\Leftrightarrow\left(3-4y+4\right)\left(1+3y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(7-4y\right)3y=0\Leftrightarrow y=\frac{7}{4};0\)

Bài 1:

a) \(A=\left(\frac{a^3-2a^2+2a-1}{a^3+1}-\frac{a^4+4}{a^4+2a^3+a^2-2a-2}\right):\frac{1}{a^2-3a+2}\left(a\ne\pm1;2\right)\)

\(=[\frac{\left(a-1\right)\left(a^2-a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}-\frac{\left(a^2-2a+2\right)\left(a^2+2a+2\right)}{\left(a^2+2a+2\right)\left(a^2-1\right)}].\left(a-1\right)\left(a-2\right)\)

\(=\left(\frac{a-1}{a+1}-\frac{a^2-2a+2}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\right).\left(a-1\right)\left(a-2\right)\)

\(=\frac{\left(a-1\right)^2-\left(a^2-2a+2\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}.\left(a-1\right)\left(a+2\right)\)

\(=-\frac{1}{a+1}.\left(a+2\right)\)

\(=-\frac{a+2}{a+1}\)

b) Ta có : \(A=-\frac{a+2}{a+1}=-\frac{\left(a+1\right)+1}{a+1}=-1-\frac{1}{a+1}\inℤ\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}\inℤ\)

\(\Leftrightarrow a+1\inƯ\left(1\right)=\){\(\pm1\)} (do \(a\inℤ\))

\(\Leftrightarrow a\in\){\(0;-2\)}

Vậy \(a\in\){\(0;-2\)} thì \(A\inℤ\)

Chờ chút tớ đang giải câu 2 nhé

mong các bạn giúp mình, cảm ơn rất nhiều

ĐKXĐ : x ≠ -2021

( bài này xét x > 0 nhé, x ≤ 0 thì tìm không ra đâu )

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x+2021\ge2\sqrt{2021x}\)

=> \(\left(x+2021\right)^2\ge8084x\)

=> \(\frac{1}{\left(x+2021\right)^2}\le\frac{1}{8084x}\)

=> \(\frac{x}{\left(x+2021\right)^2}\le\frac{1}{8084}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = 2021

Vậy GTLN của biểu thức = 1/8084, đạt được khi x = 2021

** Bài này đúng với mọi số \(x\in\left\{x|x\inℝ,x\ne-2021\right\}\)chứ không riêng gì x > 0.

Ta có: \(\frac{x}{\left(x+2021\right)^2}=\left(\frac{x}{\left(x+2021\right)^2}-\frac{1}{8084}\right)+\frac{1}{8084}=\frac{-\left(x-2021\right)^2}{8084\left(x+2021\right)^2}+\frac{1}{8084}\le\frac{1}{8084}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 2021

Bài 3 : Theo bài ra ta có : \(x^2-5x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x=3;2\)(*) 

\(x+\left(x-2\right)\left(2x+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow x-2+\left(x-2\right)\left(2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2x+2\right)=0\Leftrightarrow x=2;-1\)(**) 

Dựa vào (*) ; (**) dễ dàng chứng minh được a;b nhé

c, Ko vì phương trình (*) ko có nghiệm -1 hay phương trình (**) ko có nghiệm 3 nên 2 phương trình ko tương đương

\(\left(x^2+x\right)\left(x^2+x+2\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1-1\right)\left(x^2+x+1+1\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)^2-1^2=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=0\)(vô nghiệm)