Đề phải như thế này nhé:

Chứng minh: \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(a^2+1\ge2a\)

\(b^2+1\ge2b\)

\(a^2+b^2\ge2ab\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: \(2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = 1

\(a^3-3a-110=0\)

\(\Leftrightarrow a^3-5a^2+5a^2-25a+22a-110=0\)

\(\Leftrightarrow a^2.\left(a-5\right)+5a\left(a-5\right)+22\left(a-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-5\right)\left(a^2+5a+22\right)=0\)

Vì \(a^2+5a+22=a^2+2.\frac{5}{2}a+\frac{25}{4}+\frac{63}{4}=\left(a+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{63}{4}>0\)

\(\Rightarrow a-5=0\)\(\Rightarrow a=5\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(S=\left\{5\right\}\)

\(a^3-3a-110=0\)

\(\Leftrightarrow a^3-25a+22a-110=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^2-25\right)+22\left(a-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+5\right)\left(a-5\right)+22\left(a-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-5\right)\left(a^2+5a+22\right)=0\)

Ta có : \(a^2+5a+22=a^2+2.a.\frac{5}{2}+\frac{25}{4}+\frac{63}{4}=\left(a+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{63}{4}>0\)

\(\Rightarrow a-5=0\)

\(\Rightarrow a=5\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm : a = 5

x + y + z = 1

=> x + y + (z - 1) = 0

=> (x + y) = 1 - z

=> (x + y)³ = (1 - z)³

=> x³ + y³ + 3xy(x + y) = 1 - 3z + 3z² - z³ 

=> x³ + y³ + z³ = 3z² - 3z + 1 - 3xy(1 - z)

=> 1 = 3z(z - 1) - 3xy(1 - z) + 1

=> 3z(z - 1) + 3xy(z - 1) = 0

=> (3z + 3xy)(z - 1) = 0

=> 3(z + xy)(z - 1) = 0

=> (z + xy)(z - 1) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}z=-xy\\z=1\end{cases}}\)

Khi z = 1 => x + y = 0 => x = -y

Khi đó P = x²⁰¹⁵ + y²⁰¹⁵ + z²⁰¹⁵ = x²⁰¹⁵ - x²⁰¹⁵ + 1²⁰¹⁵ = 1

Khi z = -xy => x + y - xy = 1 => x + y - xy - 1 = 0 => (x - 1)(y - 1) = 0 => \(\orbr{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Khi x = 1 => y + z = 0 => y = -z

Khi đó P = 1²⁰¹⁵ + y²⁰¹⁵ - y²⁰¹⁵ = 1 (vì x = -z)

Khi y = 1 => x + z = 0 => x = -z

Khi đó P = x²⁰¹⁵ + 1²⁰¹⁵ - x²⁰¹⁵ = 1 (Vì x = -z)

Vậy P = 1 

Ta có: \(x+y+z=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)+z^3=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(zx+yz+z^2+xy\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow1+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

=> Hoặc x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0

=> Hoặc x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x

Vì vai trò x,y,z như nhau nên giả sử x=-y khi đó thay vào: 

\(x+y+z=1\Rightarrow z=1\)

Khi đó \(P=x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=-y^{2015}+y^{2015}+1=1\)

( x - 1 )( x + 6 )( x² + 8x + 12 ) = 0

<=> ( x - 1 )( x + 6 )( x² + 2x + 6x + 12 ) = 0

<=> ( x - 1 )( x + 6 )[ x( x + 2 ) + 6( x + 2 ) ] = 0

<=> ( x - 1 )( x + 6 )²( x + 2 ) = 0

<=> x = 1 hoặc x = -6 hoặc x = -2

Vậy ...

\(\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x^2+8x+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x^2+2x+6x+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left[x.\left(x+2\right)+6.\left(x+2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x+2\right)\left(x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\)hoặc \(x+6=0\)hoặc \(x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)hoặc \(x=-6\)hoặc \(x=-2\)

Vậy tập nghiêm của phương trình là \(S=\left\{1;-6;-2\right\}\) 

2x² + y² - 2xy + 2x + 1 = 0

<=> (x² - 2xy + y²) + (x² + 2x + 1) = 0

<=> (x - y)² + (x + 1)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=-1\end{cases}}\Rightarrow x=y=-1\)

Vậy x = y = -1 là nghiệm phương trình

\(2x^2+y^2-2xy+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2=0\)

Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\), \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2\ge0\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=-1\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\)

Giả sử ngược lại \(2^n-1\) là 1 số chính phương lẻ

Khi đó \(2^n-1=\left(2k+1\right)^2\)  \(\left(k\inℕ^∗\right)\)

\(\Leftrightarrow2^n-1=4k^2+4k+1\)

\(\Leftrightarrow2^n=4k^2+4k+2\) 

Nhận thấy VP chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

Mà n>1 nên 2ⁿ chia hết cho 4

=> vô lý =>  điều g/s sai

=> 2ⁿ - 1 không là 1 SCP

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)\) \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)\(=\)\(\left(n-1\right)\times n\times\left(n+1\right)\)

Ta thấy: \(\left(n-1\right),n,\left(n+1\right)\)là 3 số tự nhiên liên tiếp

mà tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6

nên \(n^3-n⋮6\)

n³ - n = n( n² - 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )

Vì n, ( n - 1 ), ( n + 1 ) là 3 số nguyên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

mà 2.3 = 6 => n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6

hay n³ - n chia hết cho 6 ( đpcm )

Em yêu anh

fuck mày trả lời đúng rồi nhưng mày không biết viết tiếng anh à ?

7500 ok