Đề bài cần thêm là a,b,c nguyên .

Ta có : \(a+b+c=3\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=9\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=9\)

Mà \(a^2+b^2+c^2=5\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=4\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=2\)

Ta lại có : \(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)

\(=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

Vì \(a,b,c\inℤ\)nên \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\inℤ\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Ta có a + b +c = 3

=> (a + b + c)² = 9

=> a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 9

=> 2ab + 2bc + 2ca = 4 (vì a² + b² + c² = 5)

=> 2(ab + bc + ca) = 4

=> ab + bc + ca = 2

Khi đó A = (a² + 2)(b² + 2)(c² + 2)

= (a² + ab + bc + ca)(b² + ab + bc + ca)(c² + ab + bc + ca)

= [(a + b)(a + c)].[(a + b)(b + c)].[(a + c)(b + c)]

= (a + b)².(b + c)².(c + a)²

= [(a + b)(b + c)(c + a)]² 

=> đpcm

\(\frac{x+1}{99}+\frac{x+2}{98}+...+\frac{x+50}{50}+50=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+1}{99}+1\right)+\left(\frac{x+2}{98}+1\right)+...+\left(\frac{x+50}{50}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+100}{99}+\frac{x+100}{98}+...+\frac{x+100}{50}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+100\right)\left(\frac{1}{99}+\frac{1}{98}+...+\frac{1}{50}\right)=0\)

Dễ thấy : \(\frac{1}{99}+\frac{1}{98}+...+\frac{1}{50}\ne0\)

nên PT tương đương với :

\(x+100=0\)

\(\Leftrightarrow x=-100\)

Vậy nghiệm của PT là \(x=-100\)

x=5 bạn nha

\(2x-1-\frac{x+2}{6}=\frac{x-1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{24x-12}{12}-\frac{2x+4}{12}=\frac{3x-3}{12}\)

Khử mẫu : \(24x-12-2x-4=3x-3\)

\(\Leftrightarrow22x-16-3x+3=0\Leftrightarrow19x-13=0\Leftrightarrow x=\frac{13}{19}\)

 Gọi O là giao điểm của AC và EF

Xét tam giác ADC có EO //DC

=>AE/AD=AO/AC.  (1)

Xét tg ABC có OF//DC

=>CF/CB=CO/CA.  (2)

Từ 1 và 2=>AE/AD+CF/CB=AO/AC+CO/CA=AO+CO/AC=AC/AC=1(đpcm)

Ta có \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=\left(\frac{a^2}{b+c}+a\right)+\left(\frac{b^2}{a+c}+b\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}+c\right)-\left(a+b+c\right)\)

\(=a\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+b\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+c\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-\left(a+b+c\right)\)

\(=a.\frac{a+b+c}{b+c}+b.\frac{a+b+c}{a+c}+c.\frac{a+b+c}{a+b}-\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)\left(\text{vì }\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\right)\)

\(=0\)(đpcm)

25 - a² - 2ab - b²

= 25 - ( a² + 2ab + b² )

= 5² - ( a + b )²

= ( 5 - a - b )( 5 + a + b )

Ta có:(x-y)(x²+xy+y²)=667

Ta có 667=1.667=23.29

x-y             1             23             29             667

x²+xy+y²  667          29             23             1

x               Không có Không có Không có Không có

y              Không có Không có Không có  Không có

Vậy không có x,y thỏa mãn

\(3\left(x^3-y^3\right)=2001\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y\right)=667\)

Ta có \(667=1\cdot667=23\cdot29\)

Vì x;y là số nguyên dương nên x-y; x²+xy+y² nguyên mà x²+xy+y²>0 => x-y>0 => x>y

Ta có các trường hợp sau:

TH1: \(\hept{\begin{cases}x-y=23\\x^2+xy+y^2=29\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=23\\\left(x-y\right)^2+3xy=29\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=23\\23^2+3xy=29\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=23\\xy=\frac{-500}{3}\end{cases}}}\)(loại)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x-y=29\\x^2+xy+y^2=23\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=29\\\left(x-y\right)^2+3xy=23\end{cases}}}\)(loại)

TH3: \(\hept{\begin{cases}x-y=667\\x^2+xy+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=667\\\left(x-y\right)^2+3xy=1\end{cases}}}\)(loại)

TH4: \(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x^2+xy+y^2=667\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=1\\\left(x-y\right)^2+3xy=667\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=1\\xy=222\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=y+1\\xy=222\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow y\left(y+1\right)=222\)\(\Leftrightarrow y=\frac{-1+\sqrt{889}}{2}\)(loại)

Vậy phương trình vô nghiệm

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=2b+2c-a\\y=2c+2a-b\\z=2a+2b-c\end{cases}}\)

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên \(x,y,z>0\)

Khi đó :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2y+2z-x}{9}\\b=\frac{2z+2x-y}{9}\\c=\frac{2x+2y-z}{9}\end{cases}}\)

Ta có bất đẳng thức mới theo ẩn x,y,z : 

\(\frac{2y+2z-x}{9x}+\frac{2z+2x-y}{9y}+\frac{2x+2y-z}{9z}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau : 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)

Thật vậy : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b>0\))

Áp dụng , ta được :

\(\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{12}{9}-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{9}\ge1\)(đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh