\(x^4-6x^3+27x^2-54x+32=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-1\right)-5x^2\left(x-1\right)+22x\left(x-1\right)-32\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-5x^2+22x-32\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)[x^2\left(x-2\right)-3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2-3x+16\right)=0\)

Ta có : \(x^2-3x+16=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{55}{4}\ge\frac{55}{4}>0\forall x\)

Khi đó ,PT tương đương với :

\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của PT là \(S=\left\{1;2\right\}\)

Xét ước 32 thử nghiệm lần lượt ta thấy 1 là nghiệm của phương trình hay x - 1 là nhân tử của phương trình 

\(\left(x^4-6x^3+27x^2-54x+32\right):\left(x-1\right)=x^3-5x^2+22x-32\)(*) 

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-5x^2+22x-32\right)\)

tiếp tục thử nghiệm với phương trình (*) ta thấy 2 là nghiệm phương trình trên nên x - 2 là nhân tử của phương trình 

\(\left(x^3-5x^2+22x-32\right):\left(x-2\right)=x^2-3x+2\)

mà \(x^2-3x+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=1;x=2\)

Để A nguyên thì: \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\\\left(x^2+x+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\left(x+1\right)=\left(x^2+x\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\\\left(x^2+x+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2+x\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow1⋮\left(x^2+x+1\right)\Rightarrow\left(x^2+x+1\right)\inƯ\left(1\right)\)

Mà \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy khi x = 0 hoặc x = -1 thì A nguyên

2) Đặt \(x+4=t\)

\(PT\Leftrightarrow\left(t-1\right)^4+\left(t+1\right)^4=16\)

\(\Leftrightarrow2t^4+12t^2-14=0\)

\(\Leftrightarrow t^4+6t^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2-1\right)\left(t^2+6\right)=0\)

\(\Rightarrow t^2-1=0\Leftrightarrow t^2=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+4=1\\x+4=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=-5\end{cases}}\)

( x + 6 )⁴ + ( x + 4 )⁴ = 82

Đặt t = x + 5

pt <=> ( t + 1 )⁴ + ( t - 1 )⁴ = 82

<=> t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1 + t⁴ - 4t³ + 6t² - 4t + 1 - 82 = 0

<=> 2t⁴ + 12t² - 80 = 0

<=> t⁴ + 6t² - 40 = 0

Đặt a = t²

<=> a² + 6a - 40 = 0

<=> a² - 4a + 10a - 40 = 0

<=> a( a - 4 ) + 10( a - 4 ) = 0

<=> ( a - 4 )( a + 10 ) = 0

<=> ( t² - 4 )( t² + 10 ) = 0

<=> ( t - 2 )( t + 2 )( t² + 10 ) = 0

<=> ( x + 5 - 2 )( x + 5 + 2 )[ ( x + 5 )² + 10 ] = 0

<=> ( x + 3 )( x + 7 )[ ( x + 5 )² + 10 ] = 0

Vì ( x + 5 )² + 10 > 0 

=> x + 3 = 0 hoặc x + 7 = 0 

<=> x = -3 hoặc x = -7

Vậy ...

(4x - 3)^3 + (3x - 2)^3 = (7x - 5)^3
<=> (4x - 3)^3 + (3x - 2)^3 - (7x - 5)^3 = 0
<=> (4x - 3 + 3x - 2 - 7x + 5)^3 = 0
<=> 4x - 3 + 3x - 2 - 7x + 5 = 0
<=> 4x + 3x - 7x = -5 + 2 + 3
<=> 0x = 0
Vậy pt có vô số nghiệm

nhớ k nhé

CM: Với a+b+c=0 thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Thật vậy: \(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow a^3=b^3+c^3=3abc\)

Áp dụng vào ta có:

\(PT\Leftrightarrow\left(4x-3\right)^3+\left(3x-2\right)^3+\left(5-7x\right)^3=0\)

Vì \(\left(4x-3\right)+\left(3x-2\right)+\left(5-7x\right)=0\)

\(\Rightarrow3\left(4x-3\right)\left(3x-2\right)\left(5-7x\right)=0\)

\(\Rightarrow x\in\left\{\frac{3}{4};\frac{2}{3};\frac{5}{7}\right\}\)

a) \(\frac{x-45}{55}+\frac{x-47}{53}=\frac{x-55}{45}+\frac{x-53}{47}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-45}{55}-1\right)+\left(\frac{x-47}{53}-1\right)=\left(\frac{x-55}{45}-1\right)+\left(\frac{x-53}{47}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-100}{55}+\frac{x-100}{53}=\frac{x-100}{45}+\frac{x-100}{47}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-100}{55}+\frac{x-100}{53}-\frac{x-100}{45}-\frac{x-100}{47}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-100\right)\left(\frac{1}{55}+\frac{1}{53}-\frac{1}{45}-\frac{1}{47}\right)=0\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{55}< \frac{1}{45}\\\frac{1}{53}< \frac{1}{47}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{55}+\frac{1}{53}-\frac{1}{45}-\frac{1}{47}< 0\)

\(\Rightarrow x-100=0\Rightarrow x=100\)

Vậy x = 100

Các phần sau tương tự nhé bạn

Ta có: \(\frac{x-23}{24}+\frac{x-23}{25}=\frac{x-23}{26}+\frac{x-23}{27}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-23}{24}+\frac{x-23}{25}-\frac{x-23}{26}-\frac{x-23}{27}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-23\right)\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}-\frac{1}{27}\right)=0\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{24}>\frac{1}{26}\\\frac{1}{25}>\frac{1}{27}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{24}+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}-\frac{1}{27}>0\)

\(\Rightarrow x-23=0\Leftrightarrow x=23\)

Vậy x = 23

Ta có \(\frac{x-23}{24}+\frac{x-23}{25}=\frac{x-23}{26}+\frac{x-23}{27}\)

<=> \(\frac{x-23}{24}+\frac{x-23}{25}-\frac{x-23}{26}-\frac{x-23}{27}=0\)

<=> \(\left(x-23\right)\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}-\frac{1}{27}\right)=0\)

<=> x - 23 = 0 (Vì \(\frac{1}{24}+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}-\frac{1}{27}\ne0\))

<=> x = 23

Vậy x = 23 là nghiệm phương trình

Ta có:\(\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x^2+x\right)^2-2\left(x^2+x\right)\right]-\left[6\left(x^2+x\right)-12\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x\right)-6\left(x^2+x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-3;-2;1;2\right\}\)

\(\left(x^2+x\right)^2+4.\left(x^2+x\right)-12=0\)

Đặt \(x^2+x=a\)ta có :

\(a^2+4a-12=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+6a-2a-12=0\)

\(\Leftrightarrow a.\left(a+6\right)-2.\left(a+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+6\right).\left(a-2\right)=0\)

Thay \(a=x^2+x\)vào phương trình trên ta có :

\(\left(x^2+x+6\right).\left(x^2+x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+x+6=0\\x^2+x-2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2+x-2=0\)( vì \(x^2+x+6=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{23}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}>0\))

\(\Leftrightarrow x^2-x+2x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x.\left(x-1\right)+2.\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right).\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1;-2\right\}\)