À mình nhầm 1 chút. Tích \(P=\left(1+1\right)\left(2+1\right)\left(3+1\right)...\left(2023+1\right)\) và do đó nếu \(a_0\) là số cuối cùng trên bảng thì\(\dfrac{1}{a_0}+1=\left(1+1\right)\left(2+1\right)\left(3+1\right)...\left(2023+1\right)\) hay \(a_0=\dfrac{1}{2.3.4...2024-1}\). Vậy số cuối cùng là \(\dfrac{1}{2.3.4...2024-1}\)

 Nếu trên bảng có các số \(a_1,a_2,...,a_n\) thì ta xét tích \(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\). Sau mỗi bước, ta thay 2 số \(a_i,a_j\) bằng số \(a_k=\dfrac{a_ia_j}{a_i+a_j+1}\). Khi đó \(\dfrac{1}{a_k}+1=\dfrac{a_i+a_j+1}{a_ia_j}+1=\dfrac{1}{a_i}+\dfrac{1}{a_j}+\dfrac{1}{a_ia_j}+1\) \(=\dfrac{1}{a_j}\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)+\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\) \(=\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_j}+1\right)\)

 Như vậy, sau phép biến đổi ban đầu, tích\(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_k}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\)

\(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_j}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\)

 Là không thay đổi. Vì vậy, số cuối cùng còn lại trên bảng chính là giá trị của tích P. Lại có 

\(P=\left(1+1\right)\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(\dfrac{1}{3}+1\right)...\left(\dfrac{1}{2023}+1\right)\)

\(P=2.\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{3}...\dfrac{2024}{2023}=2024\)

Như vậy, số cuối cùng trên bảng sẽ bằng 2024.

a, Xét tam giác vuông EBC vuông tại E và  CI = IB

 ⇒ IE = IC = IB ⁽¹⁾ ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

Xét tam giác vuông BCF vuông tại F và IC =IB 

 ⇒IF = IC = IB ⁽²⁾ (vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền) 

Từ (1) và (2) ta có: 

IE = IF = IB = IC 

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn tâm I bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}\) BC (đpcm)

b, Xét \(\Delta\)AFC và \(\Delta\)AEB có:

\(\widehat{CAF}\)  chung ; \(\widehat{AFC}\) = \(\widehat{AEB}\) = 90⁰ 

⇒ \(\Delta\)AFC  \(\sim\) \(\Delta\)AEB   (g-g)

⇒ \(\dfrac{AF}{AE}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\) (theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

⇒AB.AF = AC.AE (đpcm)

Xét tam giác vuông AEH vuông tại E và KA = KH 

⇒ KE = KH ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

⇒\(\Delta\)EKH cân tại K ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{EHK}\) 

\(\widehat{EHK}\) = \(\widehat{DHB}\) (vì hai góc đối đỉnh)

 ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{DHB}\) ( tc bắc cầu) (3)

Theo (1) ta có: IE = IB ⇒ \(\Delta\) IEB cân tại I 

⇒ \(\widehat{IEB}\) = \(\widehat{IBE}\)  (4)

Cộng vế với vế của (3) và(4)

Ta có: \(\widehat{KEI}\) = \(\widehat{KEH}\) + \(\widehat{IEB}\) =  \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{IBE}\)  = \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)

        Vì tam giác DHB vuông tại D nên \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)  = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

 ⇒\(\widehat{KEI}\)  = 90⁰

         IE \(\perp\) KE (đpcm)

help

s0s

Đây là dạng nâng cao toán tổng hiệu, trong các kỳ thi hsg thi violympic, mà hiệu đang bị ẩn em nhé

Bước 1:  Em tìm hiệu hai số (bằng sơ đồ đoạn thẳng)

Bước 2: Em giải toán tổng hiệu bình thường.

Theo sơ đồ ta có hiệu hai số là: 2 \(\times\) (7-1) + 2 = 14

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có: Số chẵn lớn là: (398 +14):2  = 206

Đáp số: 206 

Đặt hai số chẵn đó là x và y, với x là số chẵn lớn hơn. Ta có các điều kiện sau:

1. x + y = 398 (tổng hai số chẵn bằng 398)
2. x - y = 2 × 7 = 14 (số lẻ giữa hai số chẵn)

Giải hệ phương trình này để tìm giá trị của x và y:

Thêm cả hai phương trình lại với nhau, ta có: (x + y) + (x - y) = 398 + 14 2x = 412 x = 412 / 2 x = 206

Thay x vào phương trình thứ nhất, ta có: 206 + y = 398 y = 398 - 206 y = 192

Vậy, số chẵn lớn hơn trong hai số đó là 206.

Thời gian từ nửa đêm đến giờ cũng chính là thời gian bây giờ

Theo bài ra ta có: 

2 lần thời gian từ bây giờ đến giữa trưa cùng ngày bằng:

1 -  \(\dfrac{1}{7}\) = \(\dfrac{6}{7}\) (thời gian bây giờ)

Tỉ số thời gian từ bây giờ đến giữa trưa cùng ngày và thời gian bây giờ là:

\(\dfrac{6}{7}\) : 2 = \(\dfrac{3}{7}\)

Tổng thời gian bây giờ và thời gian từ giờ đến giữa trưa cùng ngày là 24 : 2 = 12(giờ)

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có: 

Thời gian bây giờ là: 12: (3+7) \(\times\) 7 = 8,4 (giờ)

Đổi 8,4 giờ = 8 giờ 24 phút

Đáp số: 8 giờ 24 phút 

0

Theo đề bài, loại kẹo màu xanh chiếm 1/3 và loại kẹo màu đỏ chiếm 2/3 tổng số kẹo trong túi.

Ta có thể tính tỉ lệ của loại kẹo màu vàng bằng cách lấy tổng số kẹo trong túi trừ đi tổng số kẹo màu xanh và màu đỏ. Vì ta đã biết rằng tổng số kẹo màu xanh và màu đỏ chiếm 1/3 + 2/3 = 1 (hoặc 3/3) tổng số kẹo trong túi.

Do đó, tỉ lệ của loại kẹo màu vàng sẽ là 1 - 1/3 - 2/3 = 1/3.

Vậy, phân số chỉ loại kẹo màu vàng trong túi của Mai là 1/3.

Bài 1:

Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là: 40: 5 = 8(cm)

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 25 \(\times\) 8 = 200 (cm²)

Đáp số: 200 cm²

Bài 2:

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a(cm) 

Khi cạnh hình vuông tăng thêm 2 cm thì cạnh vình vuông mới là:

a + 2 (cm)

Diện tích hình vuông mới là: 

 (a + 2)(a + 2)

= a \(\times\) a + a \(\times\) 2 + a \(\times\) 2 + 4

=  a \(\times\) a + a \(\times\)(2 +2) + 4 

= a \(\times\) a + a \(\times\) 4 + 4

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:

a \(\times\) a

Phần diện tích tăng thêm là: 

a \(\times\) a + a \(\times\) 4 + 4  - a \(\times\) a = 14

(a \(\times\) a - a \(\times\) a) + a \(\times\) 4 + 4 = 14

a \(\times\) 4 + 4 = 14 

a \(\times\) 4 = 14 - 4

a \(\times\) 4 = 10

a = 10: 4

a = 2,5 

Vậy cạnh hình vuông ban đầu là: 2,5 cm

Diện tích hình vuông ban đầu là: 2,5 \(\times\) 2,5 = 6,25 (cm²)

Đáp số: 6,25 cm²

Bài 2 : Chiều dài của cạnh sau khi tăng là : 

14÷2= ( 7 cm)

Chiều dài thật của cạnh là ;

7-2=5 ( cm )

Diện tích thật là : 

5×7= 35 ( cm²) 

a,Đến ngày thứ 5, xưởng đó đã làm được số phần trăm theo kế hoạch là:

1452 : 1650 = 0,88

0,88 = 88%

b, Hết một tuần xưởng đó đã làm được số phần trăm là:

 1848 : 1650 = 1,12

1,12 = 112%

Đến hết một tuần xưởng đó đã vượt mức kế hoạch số phần trăm là:

112% - 100% = 12%

Đáp số: a, 88%

             b, Hết một tuần xưởng đó làm được 112% kế hoạch

                 Và vượt kế hoạch là 12%

a)Đến ngày thứ 5, xưởng đó đã làm được số phần trăm theo kế hoạch là:

1452 : 1650 = 0,88

0,88 = 88%

b)Hết một tuần xưởng đó đã làm được số phần trăm là:

 1848 : 1650 = 1,12

1,12 = 112%

Đến hết một tuần xưởng đó đã vượt mức kế hoạch số phần trăm là:

112% - 100% = 12%

Đáp số: a) 88%

             b) Hết một tuần xưởng đó làm được 112% kế hoạch và vượt kế hoạch là 12%

Gọi số đã cho là : ab => số mới có dạng : ba

Theo bài ra ta có:

ab . ba = 3154

Gọi số nhỏ là ab. Ta có :

ab - ( a + b ) = 27

a x 10 + b -a - b = 27

9a = 27

 a = 27 : 9

 a = 3

ta có : 3b x b3 = 3154

Vì 3.b có tận cùng là 4 nên b = 8. Vậy số cần tìm là 38

Gọi số đã cho là : ab => số mới có dạng : ba

Theo bài ra ta có:

ab . ba = 3154

Gọi số nhỏ là ab. Ta có :

ab - ( a + b ) = 27

a x 10 + b -a - b = 27

9a = 27

 a = 27 : 9

 a = 3

ta có : 3b x b3 = 3154

Vì 3b có tận cùng là 4 nên b = 8. Vậy số cần tìm là 38