Ta có: x - y = 2 => x = 2 + y

A = x³ - y³ = (X - y)(x² + xy + y²) = 2(x² + xy + y²) = 2(x² - 2xy + y²) + 6xy = 2(x - y)² + 6xy = 8  + 6xy

A = 8 + 6y(2 + y) = 8 + 12y + 6y² = 6(y² + 2y + 1) + 2 = 6(y + 1)² + 2 \(\ge\)2 \(\forall\)y

Dấu "=" xảy ra <=> y + 1 = 0 <=> y = -1 <=> x = 2 - 1 = 1

Vậy MinA = 2 khi x = 1 và y = -1

x - y = 2 => y = x - 2

Khi đó: B = 2x² + y² = 2x² + (x-  2)² = 2x² + x² - 4x + 4 = 3x² - 4x + 4 = 3(x² - 4/3x + 4/9) + 8/3 = 3(x - 2/3)² + 8/3 \(\ge\)8/3 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x - 2/3 = 0 <=> x = 2/3 => y = 2/3 - 2 = -4/3

Vậy MinB = 8/3 khi x = 2/3 và y = -4/3

A = \(\frac{x+1}{x^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a\)=> A = a + a² = (a² + a + 1/4) - 1/4  = (a + 1/2)² - 1/4 \(\ge\)-1/4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy rA <=> a + 1/2 = 0 <=> a = -1/2

<=> 1/x = -1/2 => x = -2

Vậy MinA = -1/4 khi x = -2

B = \(\frac{2x^2-6x+5}{x^2-2x+1}=\frac{\left(x^2-4x+4\right)+\left(x^2-2x+1\right)}{x^2-2x+1}=\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}+1\ge1\forall x\)
Dấu "=" xảy ra <=> x - 2 = 0 <=> x = 2

Vậy MinB = 1 khi x = 2

Bài làm:

a) \(A=\sqrt{4}-2\sqrt{3}+\sqrt{7}-4\sqrt{3}\)

\(A=2+\sqrt{7}-6\sqrt{3}\)

b) \(B=\sqrt{3}+\sqrt{8}+\sqrt{3}-\sqrt{8}\)

\(B=2\sqrt{3}\)

Trả lời:

\(\sqrt{21-2\sqrt{108}}=\sqrt{21-2.6\sqrt{3}}\)

                                      \(=\sqrt{21-12\sqrt{3}}\)

                                      \(=\sqrt{12-12\sqrt{3}+9}\)

                                      \(=\sqrt{\left(2\sqrt{3}-3\right)^2}\)

                                      \(=2\sqrt{3}-3\)

\(\frac{\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{x}}{y-\sqrt{xy}}\)

\(=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\frac{y}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}-\frac{x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\)

\(=\frac{y-x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\)

\(=-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)

Câu này dễ mà, sao c lm CTV được:vv

\(\hept{\begin{cases}2x^2+\frac{x}{2x-y}=2\left(1\right)\\y^2+\frac{y}{2x-y}=4\left(2\right)\end{cases}}\)

ĐKXĐ: \(2x-y\ne0\)

Nhân 2 vế PT (1) với 2 rồi trừ đi PT (2) ta được:

\(4x^2-y^2+1=0\left(3\right)\)

Ta xét 2 trường hợp:

TH1:\(2x+y=0\)<=>\(y=-2x\)

Thay vào PT (1) rồi ta tính được \(\left(x;y\right)=\left(\pm\sqrt{\frac{7}{8}};\mp2\sqrt{\frac{7}{8}}\right)\)

TH2: \(2x+y\ne0\)

<=>\(2x-y=\frac{-1}{2x+y}\)

Thay vào PT(1) ta được:

\(xy=-2\)

Thay vào \(4x^2-y^2+1=0\)ta tính được

\(\left(x;y\right)=\left(...\right)\)

Vậy....

Phần tính toán cậu tự tính nhé:vvv

@Lê Phúc Huy: lí do mik đã viết thẳng vào câu hỏi. Ngay dòng dòng đầu mà bạn không thấy à. Hay mắt lé mà không thấy :]>

Áp dụng Cauchy Schwarz ta dễ có:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

\(\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

\(=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\right)+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=30\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=¹/₃

giúp em hiểu chỗ \(\frac{7}{ab+bc+ca}\Rightarrow\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)